Aloha :)
Nein, so etwas brauchst du nicht zu lernen. Dahinter steckt ein simpler Algorithmus. Ich probiere mal am Beispiel der Zählerreihe, ob ich den noch zusammenkriege. Das habe ich als Jugendlicher mal programmiert, ist also schon was länger her. Du bildest die Differenz benachbarter Werte und wiederholst das so lange, bis du nur noch gleiche Zahlen erhältst.
$$\begin{array}{cc} & 1\quad3\quad9\quad27\quad80\quad206\quad458\quad904\\ & 2\quad6\quad18\quad53\quad126\quad252\quad\!\!446\\ & \!\!\!4\quad12\quad35\quad73\quad126\quad194\\ & \!\!\!\!\!\!8\quad23\quad\,38\quad53\quad\;\;68\\ & \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!15\quad\,15\quad\,15\quad15\end{array}$$
Dann schreibst du Binomialkoeffizienten wie folgt davor:
$$\begin{array}{c|c}\binom{n}{0} & 1\quad3\quad9\quad27\quad80\quad206\quad458\quad904\\[1ex]\binom{n}{1} & 2\quad6\quad18\quad53\quad126\quad252\quad\!\!446\\[1ex]\binom{n}{2} & \!\!\!4\quad12\quad35\quad73\quad126\quad194\\[1ex]\binom{n}{3} & \!\!\!\!\!\!8\quad23\quad\,38\quad53\quad\;\;68\\[1ex]\binom{n}{4} & \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!15\quad\,15\quad\,15\quad15\end{array}$$Schließlich mulitplizierst du die Binomialkoeffizienten mit dem ersten Wert der Reihe und schreibst den Ausdruck für die Folge hin:
$$a_n=1\cdot\binom{n}{0}+2\cdot\binom{n}{1}+4\cdot\binom{n}{2}+8\cdot\binom{n}{3}+15\cdot\binom{n}{4}\quad;\quad n\ge0$$
Wenn du jetzt die Binomialkoeffizienten einsetzt:$$\binom{n}{0}=1$$$$\binom{n}{1}=\frac{n}{1}$$$$\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{1\cdot2}$$$$\binom{n}{3}=\frac{n(n-1)(n-2)}{1\cdot2\cdot3}$$$$\binom{n}{4}=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{1\cdot2\cdot3\cdot4}$$
und dann den Term vereinfachst, sollte das Ergebnis von WolframAlpha rauskommen.
