Wie leitet man Tangens² ab?

Question

Aufgabe:

\( f(x)=\tan ^{2}(x) \)

Problem/Ansatz:

Wie leitet man das ab? Wie sind die Rechenschritte dazu?

Answer 1

Aloha :)

Ich würde mir den Ausdruck zunächst etwas umformen:$$f(x)=\tan^2(x)=\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}=\frac{\overbrace{\sin^2(x)+\cos^2(x)}^{=1}-\cos^2(x)}{\cos^2(x)}=\frac{1}{\cos^2(x)}-1$$um dann die Kettenregel leicht anwenden zu können:$$f'(x)=\left(\cos^{-2}(x)\right)'=\underbrace{-2\cos^{-3}(x)}_{=\text{äußere}}\cdot\underbrace{(-\sin(x))}_{=\text{innere}}=\frac{2\sin(x)}{\cos^3(x)}$$

Comments

Sehr elegant!

Answer 2

\(f(x)=\tan ^{2}(x) =\left(\dfrac{\sin x}{\cos x}\right)^2\)

Kettenregel

Für die innere Ableitung: Quotientenregel

\(f'(x) =2\left(\dfrac{\sin x}{\cos x}\right)\cdot\dfrac{ \cos^2x-(-\sin^2 x )}{ \cos^2x   }   \)

\(f'(x) =2\cdot\left(\dfrac{\sin x}{\cos x}\right)\cdot\dfrac{ 1}{ \cos^2x } \)

\(f'(x) =2\cdot\dfrac{\sin x}{\cos^3 x} \)

Answer 3

Mit der Kettenregel.

Comments

Text erkannt:

\( f^{\prime}(x)=2 \cdot \frac{\tan (x)}{\cos ^{2}(x)}=2 \cdot \frac{\sin (x)}{\cos ^{3}(x)} \)

habe das Erste mit der Kettenregel ebenfalls herausbekommen, wie wird daraus jedoch

sin(x)/cos³(x)?

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weil tan x = sinx / cos x

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Erstens: Es gilt tan(x)=\( \frac{sin(x)}{cos(x)} \).

Wusstest du das wirklich nicht?

Zweitens: tan²x ist eine andere Schreibweise für tan x * tan x.

Sicher lernt ihr bald noch die Produktregel.