Berechnen Sie den Flächeninhalt, den der Graph mit der x-Achse einschließt

Question

Aufgabe:

bräuchte mal einen Rechenweg zu folgender Aufgabe da ich ziemlich auf der Leitung steh.

Berechnen sie den Flächeninhalt, den der Graph mit der x- achse einschließt.

a) f:x pfeil x^4-10x^2+9

b) g:x pfeil 1/2x^5 -2x^3

Problem/Ansatz:

mein Ansatz bisher bei a) ist die Gleichung gleich null setzen, dann wären die Ergebnisse -1,1,-3,3 und danach haperts dann, auch wie man sich des bildlich zeichnen soll habe ich leider nie gelernt

Answer 1

Ein Funktionenplotter, GTR o.ä. liefert:

Integriere die Funktion von 1 bis 3, multipliziere das mit -2 (minus weil Integral negativ, 2 weil es von -3 bis -1 dieselbe Fläche nochmals gibt) und addiere dann das Integral von -1 bis 1.

Comments

Okay und wenn so ne Aufgabe in ner Prüfung kommt, wie kann ich des dann ohne Funktionsplotter herausfinden?:)

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Die Nullstellen hast Du ja. Dann würde ich schauen, ob ein Wert dazwischen positiv oder negativ ist.

Wenn Du bei diesem Beispiel die Symmetrie nicht erkennst, dann rechnest Du halt drei anstatt zwei Teilflächen.

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Also hab des erste mal ausgerechnet und komme auf 20, 26 kann des sein? Hab es mit betragsstriche gerechnet... Oder negativ lassen

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Mein Taschenrechner sagt:

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Ich meinte nur des erste integral mit 3 oben und 1 unten da kommt des raus

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Das ist richtig.

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Wie weiß ich welcher wert oben und welcher unten steht beim integral? Normal wird ja von links nach rechts gelesen das integral oder?

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Genau. Der kleinere Wert unten, der größere oben.

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So bei b) sind nullstellen dann 0, -2,2 und sind dann 2 Bereiche zu berechnen oder?

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Ja.        .

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Dann müsste ja da es punktsymmetrisch ist auf in Ursprung als Ergebnis 16/3 rauskommen oder?

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Ja.       .

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Darf ich fragen von wo die 2 herkommt?

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Darf ich fragen von wo die 2 herkommt?

Ja klar.

Ich hatte damals in meiner Antwort, weiter oben auf dieser Seite, geschrieben:

2 weil es von -3 bis -1 dieselbe Fläche nochmals gibt

Answer 2

\(g(x)=\frac{1}{2}x^5-3x^3\)

1. Nullstellen: \(\frac{1}{2}x^5-3x^3=(\frac{1}{2}x^2-3)\cdot x^3=0\Rightarrow x_{1,2}=\pm\sqrt6;x_{3,4,5}=0\)

2. Integrale: \(\int_{-\sqrt6}^0g(x)dx^+\int_0^{\sqrt6}g(x)dx=2\int_0^{\sqrt6}g(x)dx\)

Comments

Ich befürchte, bei Deiner Antwort fehlen noch ein paar Betragsstriche.

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\(g(x)=\frac{1}{2}x^5-3x^3\)

Gegeben ist aber

\(g:x \mapsto \frac12 x^5 -\red2x^3\)

Answer 3

a)

f(x) = x^4 - 10·x^2 + 9 = 0 --> x = -3 ∨ x = 3 ∨ x = -1 ∨ x = 1

F(x) = 1/5·x^5 - 10/3·x^3 + 9·x

Jetzt die 3 Flächen einzeln berechnen. Man kann hier auch aufgrund der Symmetrie vereinfachen. Das mache ich aber mal extra nicht.

A1 = ∫ (-3 bis -1) f(x) dx = F(-1) - F(-3) = - 304/15

A2 = ∫ (-1 bis 1) f(x) dx = F(1) - F(-1) = 176/15

A3 = ∫ (1 bis 3) f(x) dx = F(3) - F(1) = - 304/15

A = 304/15 + 176/15 + 304/15 = 784/15 = 52.27 FE