Berechnen Sie alle Häufungspunkte der Folge, ermitteln von Teilfolgen, Konvergenz

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie alle Häufungspunkte der Folge mit den Folgengliedern
a_n = \( \sqrt[n]{2} \)   + cos(nπ) für n ∈ ℕ und geben Sie jeweils eine Teilfolge an, die gegen diese Häufungspunkte
konvergiert.

Problem/Ansatz:

Da cos(nπ) alternierend zwischen -1 und 1 ist, haben wir hier insgesamt Häufungspunkte der Form:

\( \sqrt[n]{2} \)  + (-1)ⁿ

Nun soll man jeweils eine Teilfolge angeben, die gegen diese Häufungspunkte konvergiert. Wonach muss ich nun suchen? Was ist mit "diesen" Häufungspunkten gemeint?

Answer 1

Aloha :)

$$a_n=\sqrt[n]{2}+\cos(n\pi)=\sqrt[n]{2}+(-1)^n=\left\{\begin{array}{cl}2^{1/n}+1 &\text{falls \(n\) gerade}\\[1ex]2^{1/n}-1 &\text{falls \(n\) ungerade}\end{array}\right.$$

Damit haben wir 2 konvergente Teilfolgen gefunden. Für \(n\to\infty\) konvergiert der Exponente der \(2\) gegen \(0\) und damit \(2^{1/n}\) gegen \(1\). Die beiden Häufungspunkte der Folge sind daher \(2\) und \(0\).