Bestimmen Sie alle Häufungspunkte/Teilfolgen

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie die Folgen (an),(bn) ⊂ R mit

\(\displaystyle a_{n}:=\left(\sqrt{\frac{n^{2}}{4}+\frac{n}{2}}-\frac{n}{2}\right) \cdot\left((-1)^{n}+1\right), \quad b_{n}:=\frac{(-1)^{n} n^{2}}{(2 n+\sqrt{n})^{2}} \)

Bestimmen Sie alle Häufungspunkte, die entsprechenden Teilfolgen sowie Limes inferior und Limes superior.

Problem/Ansatz:

Hey, ich arbeite aktuell an dieser Aufgabe, nun habe ich folgende Frage, ich habe mich über Teilfolgen bzw. Häufungspunkte auf YouTube versucht schlau zu machen, nun bin ich soweit, dass ich zwischen geraden und ungeraden Zahlen unterschiede und somit auf zwei Häufungspunkte komme, falls möglich. Aber wie kann ich denn mehr als 2 berechnen oder auch mehr als 2 Teilfolgen beweisen.

Ergänzend habe ich für einen Häufungspunkt bei a die 0 berechnet, falls es nicht zu viel verlangt ist, würde ich mich darüber freuen, wenn es mir jemand erklären könnte und vielleicht sogar bejahen oder verneinen könnte, ob die 0 als Ergebnis richtig ist.

MFG Matze

Answer 1

wenn es mir jemand erklären könnte und vielleicht sogar bejahen oder verneinen könnte, ob die 0 als Ergebnis richtig ist.:

\(\left(\sqrt{\frac{n^{2}}{4}+\frac{n}{2}}-\frac{n}{2}\right)\cdot\left((-1)^{n}+1\right)\)

=\(\left(\sqrt{\frac{n^{2}}{4}+\frac{n}{2}}-\frac{n}{2}\right)\cdot\left((-1)^{n}+1\right)\)

Der 1. Faktor hat den Grenzwert 0,5 ; denn wenn du erweiterst,

gibt es

=\( \frac{\left(\sqrt{\frac{n^{2}}{4}+\frac{n}{2}}-\frac{n}{2}\right)\cdot \left(\sqrt{\frac{n^{2}}{4}+\frac{n}{2}}+\frac{n}{2}\right)} {\left(\sqrt{\frac{n^{2}}{4}+\frac{n}{2}}+\frac{n}{2}\right)}\)

\(   = \frac{n}{\sqrt{n^2+2n}+n}  = \frac{1}{\sqrt{\frac{n^2+2n}{n^2}}+1} \)

und das hat den GW 0,5.

Mit dem Faktor (-1)^n + 1 dahinter (Der immer abwechselnd

den Wert 0 oder 2 hat.) gibt es also die Häufungspunkte

0,5*0 = 0   und 0,5*2 = 1.