Mengen / Mengenlehre Analysis

Question

Aufgabe 1. (9 Punkte) Seien \( A=\{2,3,5\}, B=\mathbb{Z} \cap\{x \in \mathbb{R}:-3<x<3\} \) und \( C= \) \( \left\{\{-21,0,1\},\left\{\frac{1}{3}, \frac{4}{2}, 112,2\right\},\{\sqrt{9}, e, 3\}\right\} \)
(i) (7 Punkte) Geben Sie die folgenden Mengen an, indem Sie alle Elemente nennen (Beispiel: \( A=\{2,3,5\}) \)
a) \( B \)
b) \( A \cap B \)
c) \( A \cup B \)
d) \( A \backslash B \)
e) \( A \times B \)
f) \( \mathcal{P}(B) \)
g) \( \bigcup_{Y \in C} Y \)
(ii) ( 2 Punkte) Geben Sie alle möglichen Partitionen von \( A \) an.

1)

Ich verstehe nicht wie die Menge von B definiert werden soll, Ich weiß das es eine ganze Zahl sein muss aber das mit dem -3 < x < 3 verwirrt mich.

Wenn mir jemand sagen könnte was nun die Menge von B ist und wie man drauf kommt würde mir sehr helfen.

Comments

a) B = Z ∩ {x ∈ R : −3 < x < 3}

ℤ ist die Menge der ganzen Zahlen, also negative, positive und Null.

{x ∈ ℝ : −3 < x < 3} enthält alle reellen Zahlen zwischen -3 und +3.

∩ bedeutet Schnittmenge, also alle Elemente, die in beiden Mengen gemeinsam sind.

B enthält alle ganze Zahlen zwischen -3 und +3. Allerdings sind 3 und -3 nicht dabei.

Also B={-2;-1;0;1;2}

b) A∩B enthält alle Zahlen, die in beiden Mengen gleichzeitig sind. Da kommt mmt nur eine Zahl infrage, nämlich 2.

A∩B ={2}

c)

A∪B ist die Vereinigungsmenge. Du musst alle Elemente aus A und aus B in einen "Topf" werfen.

A∪B={-2;-1;0;1;2;3;5}

Die 2 wird dabei nur einmal genommen.

d ) A \ B

Das Zeichen bedeutet "ohne", also alle Elemente aus A, die aber nicht in B sein dürfen.

2 kommt in A und in B vor. Deshalb ist sie nicht in A \ B. Die 3 und die 5 sind in A, aber nicht in B. Deshalb ist

A \ B={3;5}

e ) A × B

Das ist das kartesische Produkt der Mengen A und B. Das bedeutet, alle geordneten Paare, bei denen die erste Zahl aus A und die zweite aus B ist.

A × B={(2;-2);(3;-2);(5;-2);(2;-1);(3;-1);...}

Insgesamt sind es 15 Paare, die ich nicht alle aufgeschrieben habe.

f) P(B)

Das ist die Potenzmenge von B, d.h. die Menge aller Teilmengen von B. B enthält 5 Elemente. Daher gibt es 2^5=32 Teilmengen.

P(B)={ ∅; {-2}; {-1}; ...; {-2;-1};...; {-2;-1;0;1;2}}

Ich schreibe hier auch nicht alle auf.

g) U Y mit Y ∈C

C ist eine Menge, die drei Mengen als Elemente enthält. ∪Y ist die Vereinigung dieser drei Mengen, d.h. du kannst die inneren geschweiften Klammern von C weglassen.

C = {{−21,0,1},{13, 42,112,2},{√9,e,3}}.

∪Y={−21,0,1,13, 42,112,2,√9,e,3}

Da keine Zahl doppelt vorkommt, sind wir fertig.

Partitionen von A:

Du musst A in unterschiedliche Teilmengen zerlegen. Es gibt 5 Partitionen von A:

{{2};{3};{5}}

{{2;3};{5}}

{{2};{3;5}}

{{2;5};{3}}

{{2;3;5}}

Fertig.

:-)

Answer 1

B ist die Menge aller ganzen Zahlen x für

die gilt -3 < x < 3 (denn ganze Zahlen

sind ja auch reell.) also sind die Elemente

2 , -1, 0 , 1 , 2

Comments

Achso danke

Ich hab viel zu kompliziert gedacht.

Answer 2

B = {-2, -1, 0, 1, 2}