Welche Seitenlängen hat das kleinste pythagoreische rote Dreieck?

Question

Alle roten rechtwinkligen Dreiecke sind kongruent und jedes von ihnen ist ähnlich zum gelben Dreieck. Welche Seitenlängen hat das kleinste pythagoreische rote Dreieck?

Comments

Du hast sicher nach der Geburt sofort nach einem Geodreieck und Zirkel gerufen, Roland! :))

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Genau das kleinste PQ also 3,4,5? meinst du das?

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@ Gast 2016: Witziger Gedanke. Ich war allerdings bereits 10 Jahre alt, als ich Zirkel und Geodreieck enddeckte.

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nc=2a+b+c

na=b+c

nb=a+b+c

Addieren:

n(a+b+c)=3(a+b+c)

n=3

3c=2a+b+c → 0=2a+b-2c (1)
3a=b+c        --> 0=-3a+b+c (2)
3b=a+b+c    --> 0=a-2b+c  (3)

3. Gleichung ist 1.+2.

(1)-(2) → 0=5a-3c → a:c=3:5

(2) → b= 3a-c = 3*(3/5)*c -c =4/5 *c

 --> b:c=4:5

 --> a:b:c=3:4:5

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@Monty: schöne Lösung, warum nicht als Antwort?

@Roland: die Forderungen 'gelbes Dreieck ist ein rechtwinkliges' und 'gelbes Dreieck ist ähnlich zum roten' ist redundant.

Für das gelbe Dreiecke gibt es IMHO in dieser Anordnung nur genau eine Lösung um ein rechtwinkliges Dreieck zu bilden. Nämlich das Seitenverhältnis 3:4:5, da die drei Seiten des gelben Dreiecks eine arithmetische Folge bilden.

Und anders herum gibt es mit der alleinigen Forderung nach Ähnlichkeit (ohne rechtwinklige Dreiecke zu fordern!) ebenso nur die Lösung 3:4:5 (s. Montys Lösung)

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@Werner: Andere Aufgabe:

Die grauen Dreiecke sind kongruent und rechtwinklig. Das gelbe Dreieck ist rechtwinklig.

Welches Längenverhältnis haben die Katheten der grauen Dreiecke?

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grau:  5:12:13

gelb: 48:55:73

:-)

(a+2b+2c)^2+(2a+b+2c)^2=(2a+2b+3c)^2

--> a^2+b^2=c^2

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@Werner: Andere Aufgabe:
Die grauen Dreiecke sind kongruent und rechtwinklig. Das gelbe Dreieck ist rechtwinklig.Welches Längenverhältnis haben die Katheten der grauen Dreiecke?

ein beliebiges!! Wähle für das graue Dreieck zwei Seitenlänge \(a\) und \(b\) und die dritte Seite \(c\) sei die Hypotenuse. Wenn Du diese so anordnest wie oben angezeigt, ist das gelbe Dreieck rechtwinklig.

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@Werner:

schöne Lösung, warum nicht als Antwort?

Ich bin gerade bei 3000 Antworten angekommen.

Außerdem werden hier oft Kommentare als Antworten gepostet. Deshalb mache ich das mal umgekehrt.

Answer 1

3, 4 und 5        :)

Comments

@ döschwo: Vielleicht schreibst du noch deine Gedanken dazu auf?

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Hallo, da braucht es wenig Gedanken man probiert direkt das Dreieck 3,4,5 als einfachstes aus.

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Wenn a die kleine Kathete, b die große Kathete und c die Hypotenuse eines roten Dreiecks ist:

(a + b + c)^2 + (c + b)^2 = (a + a + b + c)^2

a^2 + b^2 = c^2

a>0, b>0, c>0

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@lul. Also Lösung durch Probieren. Da hatte ich wohl etwas Komplizierteres nehmen mussen, als ich die Aufgabe entwarf. Aber vielen Dank für deine Reaktion, die mir sehr nützt.

@döschwo. Wo bleibt die Ähnlichkeit und wie löst man das System?

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Das hast du doch schon mit kleinsten PD suggeriert.Und das schnelle addieren von 3 4 und 5 geht viel schneller als die veröffentlichen Rechnungen

lul