Question

Zeigen Sie mittels der Definition des Grenzwertes, dass die Folge
erfüllt ist.
nicht konvergiert.
(1 + (−1)n)n∈N

Das kleine n hinter dem -1 ist hoch -1

Die Sachen hinter der letzten Klammer stehen untern rechst neben der Klammer

Bitte um Hilfe und Erklärung

LG

Comments

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Answer 1

Laut Definition des Grenzwertes sollte ein Grenzwert bei der Folge rauskommen, wenn n gegen unendlich strebt, also immer größer und größer wird. Bei einer konvergenten Folge wäre das so, das die Folge nie den Grenzwert trifft, aber je größer n wird, desto näher trifft man den Grenzwert. Bei deiner angegebener Folge ist das Problem, dass (-1)^n abwechselnd zu -1 oder 1 wird, wenn du n höher setzt. Dann kommt man bei Wertebereich entweder 0 oder 2, jedoch nähert man nicht dauerhaft einen der Werte. Bei der Folge 1/n bspw. nähert man immer näher der 0, je höher n wird. Hier aber geht man abwechselnd zu 0 und 2.

Keine Garantie

Answer 2

Angenommen, die Folge würde gegen \(a\) streben, dann gäbe es zu

\(\epsilon=1/2\) eine nat. Zahl \(N=N(\epsilon)\), so dass gilt:

\(n\gt N\Rightarrow |a_n-a|\lt 1/2\).

Für ein solches \(n\) bekommen wir

\(2=|a_{n+1}-a_n|=|(a_{n+1}-a)+(a-a_n)|\leq \)

\(|a_{n+1}-a|+|a_n-a|\lt 1/2+1/2=1\),

Widerspruch !