Zeigen Sie mittels der Definition des Grenzwertes, dass die Folge erfüllt ist.nicht konvergiert.(1 + (−1)n)n∈N
Das kleine n hinter dem -1 ist hoch -1
Die Sachen hinter der letzten Klammer stehen untern rechst neben der Klammer
Bitte um Hilfe und Erklärung
LG
Könntest Du Deine Anfrage bitte auf Deutsch stellen?
Laut Definition des Grenzwertes sollte ein Grenzwert bei der Folge rauskommen, wenn n gegen unendlich strebt, also immer größer und größer wird. Bei einer konvergenten Folge wäre das so, das die Folge nie den Grenzwert trifft, aber je größer n wird, desto näher trifft man den Grenzwert. Bei deiner angegebener Folge ist das Problem, dass (-1)n abwechselnd zu -1 oder 1 wird, wenn du n höher setzt. Dann kommt man bei Wertebereich entweder 0 oder 2, jedoch nähert man nicht dauerhaft einen der Werte. Bei der Folge 1/n bspw. nähert man immer näher der 0, je höher n wird. Hier aber geht man abwechselnd zu 0 und 2.
Keine Garantie
Angenommen, die Folge würde gegen aaa streben, dann gäbe es zu
ϵ=1/2\epsilon=1/2ϵ=1/2 eine nat. Zahl N=N(ϵ)N=N(\epsilon)N=N(ϵ), so dass gilt:
n>N⇒∣an−a∣<1/2n\gt N\Rightarrow |a_n-a|\lt 1/2n>N⇒∣an−a∣<1/2.
Für ein solches nnn bekommen wir
2=∣an+1−an∣=∣(an+1−a)+(a−an)∣≤2=|a_{n+1}-a_n|=|(a_{n+1}-a)+(a-a_n)|\leq 2=∣an+1−an∣=∣(an+1−a)+(a−an)∣≤
∣an+1−a∣+∣an−a∣<1/2+1/2=1|a_{n+1}-a|+|a_n-a|\lt 1/2+1/2=1∣an+1−a∣+∣an−a∣<1/2+1/2=1,
Widerspruch !
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