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Aufgabe:


Ein Unternehmen weist folgende Produktionsfunktion F(K,L) mit den Inputfaktoren K für Kapital und L
für Arbeit auf.

F(K,L)= K^0,6 + L

Der Preis für eine Einheit Kapital beträgt pK=0.3 und der Preis für eine Einheit Arbeit beträgt pL=5.

Minimieren Sie die Kosten des Unternehmens unter Berücksichtigung seiner Produktionsfunktion, wenn ein Output von 290 ME produziert werden soll.

a. Wie hoch ist der Einsatz von Faktor K im Kostenminimum?

b. Wie hoch ist der Einsatz von Faktor L im Kostenminimum?

c. Welchen Wert hat der Lagrange-Multiplikator im Kostenminimum?

d. Wie hoch sind in diesem Fall die minimalen Kosten?


Problem/Ansatz:

Hallo ihr Lieben, habe gesehen, dass so eine ähnliche Frage schon des öfteren gestellt wurde..habe also versucht sie mit einem der vorgeschlagenen Lösungswege zu lösen.

Meine Ergebnisse lauten:

a) 316,23

b) 258,38

c) 5

d) 1386,75

Sind meine Ergebnisse richtig? Bin ehrlich gesagt, ziemlich unsicher..

Würde mich sehr über eine Rückmeldung freuen:)

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2 Antworten

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Beste Antwort

Aloha :)$$C(K;L)=0,3K+5L\to\text{Minimum}\quad;\quad F(K;L)=K^{0,6}+L\stackrel!=290$$Die Kostenfunktion \(C(K;L)\) soll unter der konstanten Nebenbedingung \(F(K;L)=290\) optimiert werden. Nach Lagrange muss dazu der Gradient der Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen sein. Da wir hier nur eine Nebenbedingung haben, reduziert sich diese Forderung auf:$$\operatorname{grad}C(K;L)=\lambda\cdot\operatorname{grad}F(K;L)\quad\implies\quad\binom{0,3}{5}=\lambda\binom{0,6K^{-0,4}}{1}$$Aus der zweiten Koordinatengleichung \(5=\lambda\cdot1\) folgt der Langrange-Multiplikatior \(\boxed{\lambda=5}\)

Aus der ersten Koordinatengleichung können wir \(K\) bestimmen:$$0,3=5\cdot0,6K^{-0,4}\implies K^{0,4}=10\implies K=10^{2,5}\implies\boxed{K\approx316,2278}$$

Aus der Nebenbedingung folgt \(L\):$$L=290-K^{0,6}\implies\boxed{L\approx258,3772}$$

Und schließlich erhalten wir die minimalen Kosten durch Einsetzen in \(C\):$$C_\text{min}=0,3\cdot316,2278+5\cdot258,3772\implies\boxed{C_{\text{min}}=1386,75}$$

Ja, deine Ergebnisse sind alle richtig\(\quad\checkmark\).

Avatar von 152 k 🚀

Dankee!:)

Lg.

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Schaut doch gut aus.

Avatar von 45 k

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