Aloha :)$$C(K;L)=0,3K+5L\to\text{Minimum}\quad;\quad F(K;L)=K^{0,6}+L\stackrel!=290$$Die Kostenfunktion \(C(K;L)\) soll unter der konstanten Nebenbedingung \(F(K;L)=290\) optimiert werden. Nach Lagrange muss dazu der Gradient der Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen sein. Da wir hier nur eine Nebenbedingung haben, reduziert sich diese Forderung auf:$$\operatorname{grad}C(K;L)=\lambda\cdot\operatorname{grad}F(K;L)\quad\implies\quad\binom{0,3}{5}=\lambda\binom{0,6K^{-0,4}}{1}$$Aus der zweiten Koordinatengleichung \(5=\lambda\cdot1\) folgt der Langrange-Multiplikatior \(\boxed{\lambda=5}\)
Aus der ersten Koordinatengleichung können wir \(K\) bestimmen:$$0,3=5\cdot0,6K^{-0,4}\implies K^{0,4}=10\implies K=10^{2,5}\implies\boxed{K\approx316,2278}$$
Aus der Nebenbedingung folgt \(L\):$$L=290-K^{0,6}\implies\boxed{L\approx258,3772}$$
Und schließlich erhalten wir die minimalen Kosten durch Einsetzen in \(C\):$$C_\text{min}=0,3\cdot316,2278+5\cdot258,3772\implies\boxed{C_{\text{min}}=1386,75}$$
Ja, deine Ergebnisse sind alle richtig\(\quad\checkmark\).
