Aloha :)
$$C(K;L)=14K+0,55L\to\text{Minimum}\quad;\quad F(K;L)=K+L^{0,4}\stackrel!=130$$Die Kostenfunktion \(C(K;L)\) soll unter der konstanten Nebenbedingung \(F(K;L)=130\) optimiert werden. Nach Lagrange muss dazu der Gradient der Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen sein. Da wir hier nur eine Nebenbedingung haben, reduziert sich diese Forderung auf:$$\operatorname{grad}C(K;L)=\lambda\cdot\operatorname{grad}F(K;L)\quad\implies\quad\binom{14}{0,55}=\lambda\binom{1}{0,4L^{-0,6}}$$Aus der 1. Koordinatengleichung \(14=\lambda\cdot1\) folgt der Langrange-Multiplikatior \(\boxed{\lambda=14}\)
Aus der 2. Koordinatengleichung können wir nun \(L\) bestimmen:$$0,55=14\cdot0,4L^{-0,6}\implies L^{0,6}=\frac{5,6}{0,55}\implies L=\left(\frac{112}{11}\right)^{\frac53}\implies\boxed{L\approx47,8309}$$
Aus der Nebenbedingung folgt \(K\):$$K=130-L^{0,4}\implies\boxed{K\approx125,3023}$$
Und schließlich erhalten wir die minimalen Kosten durch Einsetzen in \(C\):$$C_\text{min}=14\cdot125,3023+0,55\cdot47,8309\implies\boxed{C_{\text{min}}=1780,54}$$
Dein Lagrange-Multiplikatior ist mit \(\lambda=14\) korrekt, aber da muss man nichts runden, der ist genau \(14\). Vermutlich hast du dich in deiner Rechnung irgendwo verstolpert. Vielleicht versuchst du, die Rechnungen hier in der Antwort nachzuvollziehen. Und wenn du Fragen hast, bitte einfach melden ;)
