Mengenaussagen zeigen, beweisen oder widerlegen

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen korrekt bzw. inkorrekt sind:
a) Es gilt (A\B) ∪ (B\A) ⊆ A∪B für beliebige Mengen A, B.
b) Es gilt (A ∩B) ∪ C ⊆A ∩(B ∪C) f ür beliebige Mengen A, B, C.
Begründen Sie jeweils die Aussage, falls sie wahr ist, oder geben Sie ein konkretes Gegenbeispiel
an, falls sie falsch ist! (Falls Sie Bilder in ihrer Begründung verwenden, erläutern Sie diese bitte
ausreichend.)

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht was ich da jetzt genau zeigen und begründen soll. a) ist ja prinzipiell Teilmenge von A und B mit A und B wenn ich mich jetzt nicht irre. Was soll ich da aber zeigen?

Answer 1

b)  A={1,2,3}  B={2,4,6}  C= {10,11}

(A ∩B) ∪ C =  {2}  ∪ {10,11}  = {2,10,11}

ist nicht Teilmenge von A, also auch nicht von A ∩(B ∪C)

a) ist wahr. Beweis: Sei x ∈  (A\B) ∪ (B\A)

==>   ( x ∈ A    ∧   x ∉ B )   ∨   ( x ∈ B    ∧  x ∉ A)

==>     x ∈ A    ∨   x ∈ B

==>   x ∈  A∪B   q.e.d.

Comments

b) sieht aber für mich wahr aus oder nicht? Die 2 aus A ist bei beiden enthalten, das heißt, dass wäre doch eine Teilmenge?

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{2,10,11} ist keine Teilmenge von A.

Die 2 ist zwar in beiden enthalten, aber die 10 z.B. nicht.

Für "Teilmenge" müssen aber ALLE aus der einen

Menge in der anderen sein.

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Aber wenn A = B wäre das ja eine unechte Teilmenge. (Echte) Teilmenge kann ja auch heißen wenn Elemente aus einer Menge in der anderen enthalten sind, aber halt nicht alle, weil sonst A = B.

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Es ist z.B  {1,2} ⊂ {1,2,3}

alle Elemente der ersten sind in der 2. enthalten, aber

{1,2}  ⊄ {2,3,4}  weil die 1 nicht in der 2. Menge ist.

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Vielen Dank, habe es ganze Zeit falsch verstanden. Jetzt verstehe ich es.

Answer 2

Menge A: Alle Punkte im Kreis

Menge B: Alle Punkte in der Ellipse.

Comments

Was sagt das aber jetzt aus? Ich verstehe das mit dem beweisen ob korrekt oder inkorrekt nicht.

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Die Aussage zu a) ist wahr. Beweis bei der anderen Antwort von mathef. Ich habe hier nur eine bildliche Darstellung des Sachverhaltes versucht, was ja laut Aufgabentext erlaubt ist.

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Heißt Teilmenge in diesem Fall, dass ALLE Elemente aus der einen Menge auch in der anderen Menge enthalten sein müssen?

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Das heißt es nicht nur in diesem Fall.

Grunsätzlich gilt: A ist Teilmenge von B, wenn alle Elemente von A auch Elemente von B sind.

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Danke, ich habe es jetzt verstanden.