Wie verhalten sich f und f' für x → ∞ und x → 0?

Question

Aufgabe:

Die Funktion f: ℝ^>0 → ℝ, f(x) = 2(log(x))²-1) mit ihrer Ableitung f'(x) = \( \frac{4}{x} \)*log(x) sei gegeben. Log ist dabei der natürliche Algorithmus.

Wie verhalten sich f und f' für x → ∞? Wie für x → 0?

Problem/Ansatz:

1) Untersuchen von f(x):

\( \lim\limits_{x\to\infty} \) f(x) = ∞

\( \lim\limits_{x\to-\infty} \) f(x) = nicht definiert, da log(-∞) nicht definiert

\( \lim\limits_{x\to0} \) f(x) = nicht definiert, da log(0) nicht definiert

2) Untersuchen von f'(x):

\( \lim\limits_{x\to\infty} \) f(x) = 0, da \( \lim\limits_{x\to\infty} \) \( \frac{4}{x} \)  → 0 
\( \lim\limits_{x\to-\infty} \) f(x) = 0, da \( \lim\limits_{x\to-\infty} \) \( \frac{4}{x} \)  → 0
\( \lim\limits_{x\to0} \) f(x) = nicht definiert und mit L'Hospital kommen wir hier ja auch nicht weiter, richtig?

Answer 1

\( \lim\limits_{x\to-\infty} \) f(x) = nicht definiert, da log(-∞) nicht definiert

\( \lim\limits_{x\to-\infty} \) f(x) ist nicht definiert, weil \(-\infty\) kein Häufungspunkt der Definitionsmenge ist.

\( \lim\limits_{x\to0} \) f(x) = nicht definiert, da log(0) nicht definiert

\(f\) braucht bei \(0\) nicht definiert zu sein um bei \(0\) einen Grenzwert zu haben. Es genügt, wenn \(0\) ein Häufungspunkt der Definitionsmenge ist.

\( \lim\limits_{x\to\infty} \) f(x) = 0, da \( \lim\limits_{x\to\infty} \) \( \frac{4}{x} \)  → 0 

\(\lim\limits_{x\to\infty} f'(x) = 0\) ist korrekt, aber die Begründung ist etwas dürftig. Schließlich ist ja auch \(\lim\limits_{x\to\infty}\log x = \infty\).

\( \lim\limits_{x\to-\infty} \) f(x) = 0

\( \lim\limits_{x\to-\infty} f'(x) \) ist nicht definiert, weil \(-\infty\) kein Häufungspunkt der Definitionsmenge ist,

\( \lim\limits_{x\to0} \) f(x) = nicht definiert

\(\lim\limits_{x\to0} f'(x) = -\infty \) weil der eine Faktor gegen \(\infty\) divergiert und der andere Faktor gegen \(-\infty\) divergiert.