Aufgabe:
Einführung zur Kostentheorie mit e-Funktionen
Die Kostenfunktion zur Herstellung eines bestimmten Produktes wird von einem Betrieb mit \( \mathrm{K}(\mathrm{x})=-\mathrm{x}^{2} \mathrm{e}^{1-\mathrm{x}}+2 \mathrm{x}+5 \) angegeben. Die Kapazitätsgrenze liegt bei \( 3 \mathrm{ME} \).
Laut Marktuntersuchung lässt sich das Produkt zu einem konstanten Marktpreis von 4 GE je Einheit absetzten.
1. Welches Marktmodell liegt vor?
2. Bestimme folgende Gleichungen:
\( > \) Grenzkosten \( \mathrm{K}^{\prime} \)
\( > \) Erlösfunktion \( \mathrm{E} \)
\( > \) Gewinnfunktion \( \mathrm{G} \)
\( > \) Stückkosten \( \mathrm{k} \)
\( > \) variable Stückkosten \( \mathrm{k}^{\prime} \)
\( > \) Preisfunktion
3. Führe eine ausführliche Kurvendiskussion zur Grenzkostenkurve durch: Definitionsbereich, Ordinatenabschnitt, Nullstellen, Symmetrie, Grenzverhalten, Extrema und Wendepunkte.
(Setzte dazu \( \mathrm{K}^{\prime}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{x}) \). Nullstellen mit GTR, den Rest algebraisch. Für den WP reicht die notwendige Bedingung.
Zur Kontrolle: 2 . Ableitung \( \mathrm{K}^{\prime \prime \prime}(\mathrm{x})= \) \( \left.f^{\prime \prime}(x)=e^{1-x}\left(x^{2}-6 x+8\right)\right) \)
4. Berechne folgende Werte:
\( > \) Wendepunkt der Gesamtkostenkurve
\( > \) Betriebsminimum
\( > \) Gewinnschwelle
\( > \) Gewinnmaximum
5. Erläutere/Interpretiere die unter Punkt 4 berechneten Werte.
6. Zeichne \( \mathrm{K}, \mathrm{E}, \mathrm{G} \) in eine Gesamtbetrachtung und \( \mathrm{k}, \mathrm{k}_{\mathrm{v}}, \mathrm{K}^{\prime}, \mathrm{p} \) in eine Stückbetrachtung direkt untereinander.
7. Gebe verschiedene Wege zur Berechnung der gewinnmaximalen Menge an.
8. Erläutere den Einfluss einer Fixkostensenkung auf die Gewinnschwelle und den maximalen Gewinn, wenn alle anderen Großen unverändert bleiben.
9. Untersuche und begründe das Grenzverhalten der Stückkosten.
10. Beschreibe und begründe, wie sich die Stückkosten und die variablen Stückkosten für \( x \rightarrow \infty \) zueinander verhalten.
