Leite 1/(x-3)^2 mit dem Differentialquotienten ab

Question

Aufgabe:

leite 1/(x-3)^2 mit dem Differentialquotienten ab (der h-Methode)

Problem/Ansatz:

ich weiss dass -2/(x-3)^3 rauskommen muss, aber ich komme einfach nicht aufs Ergebnis. ich würde mich über die einzelnen zwischenschritte freuen.

Answer 1

\( \frac{(f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{ \frac{1}{((x+h)-3)^2}  - \frac{1}{(x-3)^2} }{h} \)

\( = \frac{ \frac{(x-3)^2- ((x+h)-3)^2}{((x+h)-3)^2 \cdot (x-3)^2}  }{h} \)

\( = \frac{ \frac{(x^2 -6x + 9) - ((x+h)^2 -6(x+h)+9)}{((x+h)-3)^2 \cdot (x-3)^2}}{h} \)

\( = \frac{(x^2 -6x + 9) - (x^2 +2xh+h^2 -6x-6h+9)}{((x+h)-3)^2 \cdot (x-3)^2 \cdot h }\)

\( = \frac{x^2 -6x + 9 - x^2 -2xh-h^2 +6x+6h-9}{((x+h)-3)^2 \cdot (x-3)^2  \cdot h }\)

\( = \frac{-2xh-h^2+6h}{((x+h)-3)^2 \cdot (x-3)^2  \cdot h }\)  h kürzen

\( = \frac{-2x-h+6}{((x+h)-3)^2 \cdot (x-3)^2  }\) 

Und jetzt für h gegen 0 gibt es

\( = \frac{-2x+6}{(x-3)^2 \cdot (x-3)^2  } = \frac{-2(x-3)}{(x-3)^4 }  \)

Und einmal (x-3) kürzen gibt das gewünschte Ergebnis.

Comments

Ich danke Ihnen!

Answer 2

Aloha :)

$$f(x)=\frac{1}{(x-3)^2}$$

Wir betrachten zuerst die Differenz:$$f(x+h)-f(x)=\frac{1}{((x+h)-3)^2}-\frac{1}{(x-3)^2}=\frac{(x-3)^2-((x+h)-3)^2}{((x+h)-3)^2(x-3)^2}$$$$\quad=\frac{(x^2-6x+9)-((x+h)^2-6(x+h)+9)}{((x+h)-3)^2(x-3)^2}=\frac{x^2-6x-(x^2+2xh+h^2)+6(x+h)}{((x+h)-3)^2(x-3)^2}$$$$\quad=\frac{-2xh-h^2+6h}{((x+h)-3)^2(x-3)^2}=\frac{-2h(x-3)-h^2}{((x+h)-3)^2(x-3)^2}=h\cdot\frac{-2(x-3)-h}{((x+h)-3)^2(x-3)^2}$$

Damit können wir nun den Differentialquotienten bilden. Das \(h\) als Vorfaktor kürzt sich dabei mit dem Nenner weg:$$f'(x)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{-2(x-3)-h}{((x+h)-3)^2(x-3)^2}$$$$\phantom{f'(x)}=\frac{-2(x-3)-0}{((x+0)-3)^2(x-3)^2}=\frac{-2(x-3)}{(x-3)^4}=-\frac{2}{(x-3)^3}$$

Comments

Ich danke auch ihnen :)