Beweisen mit Hilfe eines Widerspruchbeweises

Question

Aufgabe:

Beweise mit Hilfe eines Widerspruchbeweises

Problem/Ansatz:

\( (A \backslash B) \cap(B \backslash A)=\emptyset \)

Answer 1

Nimm an \((A\setminus B)\cap (B\setminus A) \neq \varnothing\).

Dann existiert ein \(x\in (A\setminus B)\cap (B\setminus A)\).

Dann gilt \(x\in A \land x\notin B \land x\in B \land x\notin A\) aufgrund der Definitionen aus der Mengenlehre und Logik, was offensichtlich ein Widerspruch ist (ein Element kann nicht gleichzeitig in und nicht in einer Menge enthalten sein).

Damit folgt \((A\setminus B)\cap (B\setminus A) = \varnothing\).