Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen auf Injektivität und Surjektivität

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die folgenden Abbildungen auf Injektivität und Surjektivität:

a) f₁ : ℝ² →ℝ, (x, y) 7→x −y,
b) f₂ : ℝ² →ℝ, (x, y) 7→x² + y²,
c) f₃ : ℝ² →ℝ², (x, y) 7→(x + 3y, y −2x).

Problem/Ansatz: Ich weiß zwar das ich zur Injektivität zeigen muss, das f (x₁) = f (x₂) ⇒ x₁ = x₂   jedoch scheitert es bei mir am einsetzen, genauso bei der Surjektivität.Vor allem verwirrt mich das ℝ² →ℝ. Wäre für Hilfe sehr dankbar.

LG Blackwolf

Answer 1

ℝ^{2} →ℝ

Die Funktion weist Werten aus \(\mathbb{R}^2\), also Tupeln aus zwei reellen Zahlen, jeweils einen Wert aus \(\mathbb{R}\) zu.

Zur Injektivität: Eine Funktion \(f\) ist injektiv, gdw. zu jedem Bild (d.h. Element, auf das die Funktion abbildet) der Funktion \(f\) genau ein Urbild existiert.

Die Funktion aus a) beispielsweise ist nicht injektiv, denn z.B. existieren zum Bild \(0\) der Funktion unendlich viele Urbilder, z.B. \((0,0), (1,1), (2,2), (3,3), ...\).

Dahingegen ist die Funktion aus c) injektiv. Zum Beweis nehmen wir an, dass ein Bild \(z\in \mathbb{R}^2\) unter \(f_3\) durch Abbildung von den Urbildern \((x_1,y_1)\) und \((x_2,y_2)\) entstanden ist, d.h. \(z=f_3((x_1,y_1))=f_3((x_2,y_2))\).

Jetzt zeigen wir, dass die Urbilder gleich sind (es also nur genau eins gab), d.h. \((x_1,y_1)=(x_2,y_2)\).

Dazu entnehmen wir aus unserer Annahme, dass

\((x_1+3y_1,y_1-2x_1)=f_3((x_1,y_1))=f_3((x_2,y_2))=(x_2+3y_2,y_2-2x_2)\).

Aus der Tupelgleichheit folgt die Gleichheit der einzelnen Tupelkomponenten, d.h. \((I)  x_1+3y_1=x_2+3y_2\) und \((II)  y_1-2x_1=y_2-2x_2\).

Aus \((I)-3(II)\) folgt dann die Gleichung \(7x_1=7x_2\) und damit \(x_1=x_2\). Damit folgt sofort auch \(y_1=y_2\).

Insgesamt also \((x_1,y_1)=(x_2,y_2)\).

Ob die Funktion aus b) injektiv ist oder nicht, ist jetzt auch nicht mehr so schwer.

Zur Surjektivität: Eine Funktion \(f\) ist surjektiv, gdw. jedes Element der Wertemenge auch gleichzeitig ein Bild unter \(f\) ist, d.h. die Funktion \(f\) bildet auf dieses Element ab.

Leicht gesagt: Jedes Element der Wertemenge wird durch \(f\) erreicht.

Die Funktion aus a) ist beispielweise surjektiv. Zu jeder reellen Zahl \(x\in \mathbb{R}\) aus der Wertemenge gilt z.B. \(x=x-0\), d.h. also \(x=f_1((x,0))\). Damit ist \(x\) immer das Bild von \((x,0)\) unter \(f_1\).

Die Funktion aus b) ist dahingegen nicht surjektiv. Da \(f_2((x,y))=x^2+y^2\) und \(x^2\geq 0\), sowie \(y^2\geq 0\) für \(x,y\in \mathbb{R}\) bildet \(f_2\) lediglich auf nichtnegative reelle Zahlen ab. Die Elemente \(t\in \mathbb{R}^{<0}\) werden nie durch \(f_2\) erreicht.

Die Surjektivität der Funktion aus c) zu überprüfen, überlasse ich nun dir.

Comments

Danke erstmal für die Antwort.

Bei der Funktion b) würde ich dann sagen, das sie Injektiv ist, da:

x₁²+y₁²=x₂²+y₂²      l √

x₁+y₁=x₂+y₂

→x₁=x₂ 

→y₁=y₂

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Bei der Surjektivität würde ich dann sagen, das c) Surjektiv ist, weil:

Für jedes x∈ℝ gilt

x=x+3*0

also x=x →x=ƒ((x, 0))

und im 2. teil:

x=0-2x

x=-2x →x=ƒ((-2x,0))

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@Blackwolf

Bitte überdenke nochmal die Folgerung \(x_1^2 + y_1^2 = x_2^2+y_2^2 \Rightarrow x_1+y_1=x_2+y_2\). Stimmt diese wirklich?

Zu deinem Kommentar bzgl. der Surjektivität in c):

Du bildest vom \(\mathbb{R}^2\) in den \(\mathbb{R}^2\) ab, d.h. du bildest Tupel \((x,y)\in \mathbb{R}^2\) über die Funktion \(f_3\) auf Tupel \((x+3y, y-2x)\) ab.

Wenn du zeigen möchtest, dass die Funktion surjektiv ist, dann musst du zu jedem Tupel \((x',y')\) aus dem Wertebereich (Menge in die die Funktion abbildet, hier \(\mathbb{R}^2\)) ein Tupel \((x,y)\) aus dem Definitionsbereich (Menge an Elementen, die die Funktion abbildet, hier auch \(\mathbb{R}^2\)) angeben, sodass \((x',y')=f_3((x,y))\).

Bitte überdenke also nochmal, dass deine Argumente hier jetzt nicht reelle Zahlen (ein einfaches \(x\) reicht da nicht) sind, sondern Tupel aus reellen Zahlen (\((x,y)\), wobei \(x,y\in \mathbb{R}\)).