Mengenlehre Lineare Algebra

Question

Aufgabe:

3. Es seien \( A, B, C, D \) Mengen, wobei \( A \) und \( C \) bzw. \( B \) und \( D \) Teilmengen einer Obermenge \( X \) bzw. \( Y \) seien. Man zeige:
(a) \( (A \times B) \cup(C \times B)=(A \cup C) \times B \).
(b) \( (A \times B) \cap(C \times D)=(A \cap C) \times(B \cap D) \).

Problem/Ansatz:

Ich bräuchte hier vielleicht ein bisschen Unterstützung, ein Ausführlicher Rechenweg wäre echt super. Bin gerade erst am Anfang der Mengenlehre und hab so meine Probleme

Answer 1

(a)

Angenommen \((x,y)\in (A\times B)\cup (C\times B)\).

Genau dann \((x,y)\in (A\times B) \vee (x,y)\in (C\times B)\) (Def. Vereinigung).

Genau dann \((x\in A \land y\in B) \vee (x\in C \land y\in B)\) (Def. Kreuzprodukt).

Genau dann \((x\in A \vee x\in C) \land y\in B\) aufgrund des Distributivgesetzes der Logik.

Genau dann \(x\in A\cup C \land y\in B\) (Def. Vereinigung).

Genau dann \((x,y)\in (A\cup C)\times B\) (Def. Kreuzprodukt).

(b)

Gleiche Idee wie bei (a): Definitionen der Mengenverknüpfungen über die Logik anwenden und entsprechende Gesetze der Logik nutzen.