Aloha :)
Wir sollen die Funktion \(K(x;y)\) unter einer konstanten Nebenbedingung \(F(x;y)\) optimieren:$$K(x;y)=84x+99y\to\text{Min}\quad;\quad F(x;y)=5x^2+60xy+2y^2\stackrel!=6786$$Die Lagrange-Funktion ist fast immer zu fummelig zu handhaben, daher verwende ich gerne die Kern-Idee von Lagrange. Der Gradient der zu optimierenden Funktion muss eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen sein. Da wir hier nur eine Nebenbedingung haben, heißt das:$$\operatorname{grad}K(x;y)=\lambda\cdot\operatorname{grad}F(x;y)\quad\implies\quad\binom{84}{99}=\lambda\binom{10x+60y}{4y+60x}$$Wir dividieren die beiden Koordinatengleichungen durcheinander:$$\frac{84}{99}=\frac{\lambda(10x+60y)}{\lambda(4y+60x)}=\frac{10(x+6y)}{4(y+15x)}\implies\frac{x+6y}{15x+y}=\frac{84\cdot4}{99\cdot10}=\frac{56}{165}\implies$$$$x+6y=\frac{56}{165}(15x+y)\implies \left(6-\frac{56}{165}\right)y=\left(\frac{56\cdot15}{165}-1\right)x\implies$$$$\left(165\cdot6-56\right)y=\left(56\cdot15-165\right)x\implies\underline{\underline{y=\frac{675}{934}x}}$$
Setzen wir dieses Ergebnis in die Nebenbedingung ein, erhahlten wir das gesuchte \(x\):$$6786=5x^2+60x\cdot\frac{675}{934}x+2\left(\frac{675}{934}x\right)^2\approx49,406469\,x^2\implies\boxed{x\approx11,719660}$$
