Aloha :)
Diese Funktion ist nur definiert, falls \(\sin(x)>0\) ist. Da wir den Grenzwert für \(x\to0\) bestimmen sollen, beschränken wir uns auf das Intervall \(x\in(0;\pi)\). Es gibt also nur einen rechtsseitigen Grenzwert, denn für \(x\in[-\pi;0]\) wäre \(\sin(x)\le0\).
~plot~ sin(x)^x ; [[-1|pi+1|-0,2|1,2]] ~plot~
Da \(\sin(x)>0\) ist, existiert der natüliche Logarithmus davon und wir können ausnutzen, dass die Exponentialfunktion und die Logarithmus-Funktion ihre Wirkung gegenseitig aufheben:$$f(x)=\sin(x)^x=e^{\ln\left(\sin(x)^x\right)}=e^{x\ln(\sin x)}$$
Da die Exponentialfunktion stetig ist, können wir den Grenzwert auf ihr Argument wirken lassen:$$\lim\limits_{x\to0}f(x)=\lim\limits_{x\to0}e^{x\ln\left(\sin x\right)}=\exp\left(\lim\limits_{x\to0}\left(x\ln(\sin x)\right)\right)$$Um nun L'Hospital anwenden zu können, schreiben wir unseren Patienten als Bruch:$$\lim\limits_{x\to0}\left(x\ln(\sin x)\right)=\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(\sin x)}{\frac1x}$$Der Zähler geht für \(x\to0\) gegen \(-\infty\), der Nenner geht gegen \(\infty\). Also können wir Zähler und Nenner unabhängig voneinander ableiten. Im Zähler brauchen wir dafür die Kettenregel:
$$\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(\sin x)}{\frac1x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\frac{1}{\sin x}\cdot\cos x}{-\frac1{x^2}}=\lim\limits_{x\to0}\frac{-x^2\frac{\cos x}{\sin x}}{1}=\lim\limits_{x\to0}\frac{-x^2}{\frac{\sin x}{\cos x}}=\lim\limits_{x\to0}\frac{-x^2}{\tan x}$$Für \(x\to0\) ergeben Zähler und Nenner jeweils den Wert \(0\). Wir können die Patienten also nochmal ableiten:$$=\lim\limits_{x\to0}\frac{-2x}{1+\tan^2x}=\frac{-2\cdot0}{1+0^2}=\frac01=0$$
Damit haben wir es geschafft. Wir gehen zurück zu unserer Funktion \(f(x)\) von oben:$$\lim\limits_{x\to0}f(x)=\exp\left(\lim\limits_{x\to0}\left(x\ln(\sin x)\right)\right)=e^0=1$$
