Zyklenschreibweise von Permutationen

Question

Hallo, ich habe folgende Definition im Anhang.

Ich weiß wie ich einen Zyklus aufschreibe und welcher Ordnung sie ist usw., ich verstehe aber die Definition dazu nicht..

Kann mir hier vielleicht jemand erklären, was mit z(i1)=i2,…z(im-1)=zm usw. gemeint ist?

Liebe Grüße :) 

Text erkannt:

Definition: Sei \( M \) die \( S_{n} \) zugrunde liegende Menge \( M=\{1,2, \ldots, n\} \) mit \( |M|=n \). Eine Permutation \( z \in S_{n} \) heißt m-Zyklus für \( 2 \leq m \leq n \), wenn sie eine geordnete Folge von \( m \) verschiedenen Elementen \( i_{1}, i_{2}, \ldots, i_{m} \) aus \( M \) ist, sodass
\( z\left(i_{1}\right)=i_{2}, z\left(i_{2}\right)=i_{3}, \ldots \ldots, z\left(i_{m-1}\right)=i_{m}, z\left(i_{m}\right)=i_{1} \)
und \( z(j)=j \) für alle \( j \in M \backslash\left\{i_{1}, i_{2}, \ldots, i_{m}\right\} . \) Man schreibt \( \operatorname{dann} z=\left(i_{1} i_{2} \ldots i_{m}\right) \).

Answer 1

Eine Permutation \( z \in S_{n} \)

Also ist \(z\) eine bijektive Abbildung von \(\{1,\dots,n\}\) nach \(\{1,\dots,n\}\).

eine geordnete Folge von \( m \) verschiedenen Elementen \( i_{1}, i_{2}, \ldots, i_{m} \) aus \( M \)

Beispiel. Seien \(n=4\), \(m=3\) und die Folge sei \((1, 4, 2)\).

Dann ist \(i_1 = 1\), \(i_2 = 4\), \(i_3 = 2\).

\( z\left(i_{1}\right)=i_{2}, z\left(i_{2}\right)=i_{3}, \ldots \ldots, z\left(i_{m-1}\right)=i_{m}, z\left(i_{m}\right)=i_{1} \)

Weil \(z\) eine Abbildung ist, kann man sich fragen, auf welche Zahl die \(1\) durch die Abbildung \(z\) abgebildet wird; was also \(z(1)\) ist.

Laut obiger Definition ist in dem Beispiel dann

        \(z(1) = z(i_1) = i_2 = 4\).

Die \(1\) wird also durch \(z\) auf \(4\) abgebildet.

\( z(j)=j \) für alle \( j \in M \backslash\left\{i_{1}, i_{2}, \ldots, i_{m}\right\} . \)

In obigem Beispiel ist also \(z(3) = 3\), weil die \(3\) in der betrachteten Folge \((1,4,2)\) nicht vorkommt.