Aufgabe:
Gleichmäßige Konsistenz.
Gegeben sei ein Anfangswertproblem \( y^{\prime}=f(x, y), y\left(x_{0}\right)=y_{0} \) mit einer eindeutigen Lösung \( y:\left[x_{0}, x_{\text {end }}\right] \rightarrow \mathbb{R} \). Die rechte Seite \( f \) sei definiert auf einer offenen Menge \( M \subset \mathbb{R}^{2} \) mit
\( \left\{(x, y(x)): x \in\left[x_{0}, x_{\text {end }}\right]\right\} \subset M \)
und \( f \) hinreichend glatt. Dadurch existiert ein \( \alpha>0 \), so dass
\( \widehat{M}:=\left\{(x, y(x)+\Delta y): x \in\left[x_{0}, x_{\text {end }}\right],|\Delta y| \leq \alpha\right\} \subset M \)
Zeigen Sie die Konsistenzbedingung
\( |\tau(x, y(x), h)|=|\Delta(x, y(x), h)-\Phi(x, y(x), h)| \leq C h^{p} \)
für alle \( x \in\left[x_{0}, x_{\text {end }}\right] \) und \( 0<h \leq \bar{h} \) mit einem \( \bar{h}>0 \) und einer Konstanten \( C>0(\bar{h} \) und \( C \) unabhängig von \( x \) ) im Falle von
a) expliziten Euler-Verfahren bei einer nichtautonomen Differentialgleichung,
b) Heun-Verfahren (2. Ordnung) bei einer autonomen Differentialgleichung.
Bemerkung: Es genügt die Existenz von \( C \) und \( \bar{h} \) zu begründen.
Hallo zusammen, könnte mir jemand bitte dabei helfen?
Danke im Voraus!
