Was ist die nachträgliche Wahrscheinlichkeit, dass er schuldig ist unter der Bedingung, dass der Test negativ ausfällt?

Question

Aufgabe:

Folgende Aufgabe habe ich:

Ein Mann wird unter Verdacht auf Totschlag verhaftet. Man weiß so weit, dass unter Verdacht verhaftete Männer zu 70 % schuldig sind. Ein Lügendetektor wird für weitere Infos genutzt. In 90% der Fälle identifizieren Lügendetektoren einen Lügner. In 20 % der Fälle beschuldigen sie fälschlicherweise eine unschuldige Person. In 80% der Fälle zeigen sie korrekterweise ein negatives Ergebnis. Nehmen Sie an, der Verdächtige macht einen Lügentest und besteht (negativ).

Was ist die nachträgliche Wahrscheinlichkeit, dass er schuldig ist unter der Bedingung, dass der Test negativ ausfällt?

Problem/Ansatz:

Die Lösung kenne ich, 22,6%. Ich komme allerdings mit dem Lösungsweg nicht so ganz zurecht. Mein Lehrer hat ein Baumdiagramm aufgezeichnet:

1. Stufe: schuldig (0,7) / unschuldig (0,3)

2. Stufe: schuldig, positiv (0,9) / schuldig negativ (0,1)

unschuldig, positiv (0,2) / unschuldig, negativ (0,8)

Die Wahrscheinlichkeiten an einem Pfad hat er multipliziert. Soweit verstehe ich noch alles. Dann aber hat er ein zweites Baumdiagramm aufgezeichnet und es umgedreht.

1. Stufe: positiv (0,69) / negativ (0,31) → verstehe ich noch

2. Stufe: positiv, schuldig (0,63) / positiv, unschuldig (0,06)

negativ, schuldig (0,07) / negativ, unschuldig (0,24)

Um auf die Lösung zu kommen, hat er dann 0,07/0,31 gerechnet. Da bin ich komplett raus. Muss man nicht an einem Pfad immer multiplizieren? und was ich auch nicht verstanden habe, im zweiten Baumdiagramm ergeben die beiden Äste nach einem Knoten nicht 100%. Kann das sein?

Bin für jede Hilfe dankbar

Answer 1

negativ, schuldig (0,07)

Das ist die gleiche Wahrscheinlichkeit wie der Pfad schuldig, negativ im ersten Baumdiagramm (0,7 · 0,1), weil es sich ja um das gleiche Ergebnis handelt.

Muss man nicht an einem Pfad immer multiplizieren

Ja. Und das Ergbnis dieser Multiplikation ist 0,07. Einen Faktor kennen wir, nämlich 0,31. Der andere ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit.

        0,31 · x = 0,07

2. Stufe: positiv, schuldig (0,63) / positiv, unschuldig (0,06)
negativ, schuldig (0,07) / negativ, unschuldig (0,24)

Das sind nicht die Wahrscheinlichkeiten, die an den Ästen der zweiten Stufe stehen.

Das sind die Wahrscheinlichkeiten der vier Pfade.

Aus der Wahrscheinlichkeit des Pfades negativ, schuldig und der Warscheinlichkeit für schuldig auf der ersten Stufe wurde die Wahrscheinlichkeit des Astes berechnet, der von schuldig zu dem Ergebnis negativ, schuldig führt.

Comments

Vielen Dank!

Aber in der zweiten Stufe waren das tatsächlich die Wahrscheinlichkeiten an den Ästen und nicht der Pfade, zumindest laut meinem Lehrer.

Answer 2

Baumdiagramm:

(0,7*0,1)/(0,7*0,1+0,3*0,8) = 0,226 = 22;6%