Banachscher Fuxpunktsatz , beschränkte Funktion

Question

Morgen ,

Zeigen Sie, dass es genau eine beschränkte Funktion f : R → R gibt, welche für alle x ∈ R die folgende Gleichung erfüllt:
f (x + 1) = 3f (x) + 3 cos(x + 1)

Ich weiß, dass ich hier mit dem Banachschen Fixpunktsatz arbeiten muss, aber ich weiß nicht ganz wie ich es hier anwenden soll. Müsste ich erstmal zeigen, dass es abgeschlossen und beschränkt ist und ob es überhaupt ein Banachraum ist?

Aber hier in der Aufgabe will er ja. nicht, dass wir zeigen, dass es genau einen Fixpunkt gibt, sondern dass es eine beschränkte Funktion gibt, die die Gleichung erfüllt und darauf komme ich leider nicht :/

Über eure Hilfe wäre ich sehr dankbar !

Grüße

Comments

Der Raum der beschränkten Funktionen \(\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\)

ist versehen mit der Supremumsnorm ein Banachraum

(siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Beschr%C3%A4nkte_Abbildung).

Du musst die Funktion \(f\) als Fixpunkt einer kontrahierenden Abbildung

\(\phi\) auffassen, die in diesem Raum beschränkte Funktionen \(g\) auf

beschränkte Funktionen \(\phi(g)\) abbildet.

Answer 1

Meine Idee dazu:

Sei \(M=\{f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\; | \; f\) beschränkt \(\}\), versehen

mit der Supremumsnorm.

Wir definieren \(\phi:M\rightarrow M\) durch

\(\phi(f)(x)=\frac{1}{3}f(x+1)-\cos(x+1)\) für alle reellen \(x\).

Nun zeige, dass \(\phi\) eine kontrahierende Abbildung ist, die

die Kriterien für den Fixpunktsatz erfüllt.

Comments

Danke, ich kam doch drauf habe auch gezeigt, dass die Abbildung kontrahierend ist mit der Lipschitz-Konstante 1/3

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Prima ! \(\;\;\;\;\;\)