Extremwertaufgabe Kugel Kreiszylinder

Question

Die folgende scheinbar simple Extremwertaufgabe lässt mich verzweifeln. Wie geht man da am besten vor und wie löst man diese Aufgabe?

Einer Kugel mit Radius r ist ein Kreiszylinder größten Volumens einzubeschreiben.

Answer 1

Zeichne dir einen Längsschnitt durch die Kugelmitte.

Wenn der Zylinder den Radius x und die Höhe h hat erkennst

du ein rechtwinkliges Dreieck (eine Ecke am Mittelpunkt,

die andere wo Zylinder und Kugel zusammentreffen)

mit den Katheten x und h/2   und Hypotenuse r.

Also gilt x^2 = r^2 - h^2/4 und für das Volumen

V= x^2 * pi * h = (r^2 - h^2/4) * pi * h

 ==>   V(h)       = pi *  (   r^2 * h - h^3 /4 )

==>  V ' (h) = pi *  (  r^2  - 0,75h^2 )

Das ist 0 für h= 2r/√3

und x ist dann r*√6 /3 .