Welche der wohldefinierten Abbildungen sind injektiv, welche surjektiv?

Question

Aufgabe:

1 | Dienst nach Vorschrift
Welche der folgenden Abbildungsvorschriften beschreiben wohldefinierte Abbildungen? Welche der wohldefinierten Abbildungen sind injektiv, welche surjektiv?
(a) \( \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)
(b) \( \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)
(c) \( \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)
(d) \( \{x \in \mathbb{R} \mid x \geqslant 0\} \rightarrow \mathbb{R} \)
\( x \mapsto x^{2} \)
\( x \mapsto x^{3} \)
\( x^{2} \mapsto x \)
\( x \mapsto \sqrt{x} \)
(e) \( \mathbb{Q} \backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{Q} \backslash\{0\} \)
(f) \( \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \)
(g) \( \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}_{0} \)
\( \frac{a}{b} \mapsto \frac{b}{a} \quad n \mapsto\left\{\begin{array}{ll}n-1 & \text { falls } n \text { gerade } & \text { Anzahl der } \\ n+1 & \text { falls } n \text { ungerade } & n \mapsto \text { verschiedenen } \\ & \text { Primfaktoren von } n\end{array}\right. \)
Beantworten Sie diese Fragen! Begründen Sie jeweils Ihre Antwort!
Geben Sie außerdem zu den bijektiven Abbildungen jeweils die Umkehrabbildung an!
(Für eine nicht-negative reelle Zahl \( x \) bezeichnet das Symbol \( \sqrt{x} \) die nicht-negative Wurzel von \( x . \) )

Answer 1

a) ist weder surjektiv noch injektiv, betrachte f(x)=1 , 1 hat 2 Urbilder, nämlich 1 und -1, also hat nicht jeder reelle Wert aus dem Wertebereich maximal 1 Urbild, somit ist a) nicht injektiv. Zu surjektiv:

Nicht alle Elemente aus dem Wertebereich hat mind. ein Urbild, betrachte z.B. die negativen Zahlen, Sie haben kein Urbild

Comments

das heißt a und b und c sind gleich antwort oder?

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Nein, nicht zwangsweise.