Zeigen, dass f genau dann injektiv ist, wenn gilt:

Question

Aufgabe 4. Seien M, N nicht-leere Mengen und f : M → N eine Abbildung. Zeigen Sie die
folgende Aussage:

f ist genau dann injektiv, wenn gilt:

∀X 6= ∅, ∀g : X → M, ∀h : X → M : (f ◦ g) = (f ◦ h) ⇒ g = h

Problem:

Wir verstehen nicht ganz, warum f genau dann injektiv sein soll, bzw. warum ist es genau dann injektiv?

Answer 1

Ich zeige die eine (etwas schwierigere) Richtung:

\(f\) genüge der angegebenen Bedingung.

Zu zeigen ist, dass dann \(f\) injektiv ist.

Seien \(x,y\in M\) mit \(f(x)=f(y)\).

Wir betrachten eine einelementige Menge \(X=\{z\}\)

und die beiden Abbildungen \(g,h:X\rightarrow M\), die durch

\(g(z)=x\) und \(h(z)=y\) gegeben sind.

Dann ist \(f(g(z))=f(x)=f(y)=f(h(z)) \forall z \in X\), d.h.

\(f\circ g=f\circ h\). Nach Voraussetzung folgt daraus \(g=h\), also

\(x=g(z)=h(z)=y\). Somit ist \(f\) injektiv.