Summe und geteilt mit Potenzen: (y^{3n+1} - 2y^{3n} + y^{3n-1}) : (y^{2n+1} - y^{2n-1})

Question

Term lösen mit Summe und Potenzen:

\( y^{3 n+1}-2 y^{3 n}+y^{3 n-1} \div y^{2 n+1}-y^{2 n-1} \)

Answer 1

Summe und geteilt mit Potenzen:

(y³ⁿ⁺¹ - 2y³ⁿ + y^3n-1) : (y²ⁿ⁺¹ - y^2n-1)

= y^{3n-1}(y^2 -2y + 1) / (y^{2n-1}(y^2 - 1))

=  y^{3n-1}(y - 1)^2 / (y^{2n-1}(y - 1)(y+1))

=  y^{3n-1} (y - 1) / (y^{2n-1} (y+1))

=  y^{n} (y - 1) /  (y+1)

Comments

Das ist natürlich geschickter ;).

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Ich habe das mit der Wurzel nun doch noch begriffen ;)

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Bei meinem Weg? Gute Übung die binomische Formel auch mal anders anzuschauen *grins*.

Answer 2

Hi,

nutze die Potenzgesetze.

Somit kann man beispielsweise schreiben:

$$y^{3n+1} = y^{3n}\cdot y$$

Das mache nun bei jedem und klammere \(y^{3n}\) bzw. \(y^{2n}\) aus.

$$\frac{y^{3n}(y-2+y^{-1})}{y^{2n}(y-y^{-1})} = \frac{y^n(y-2+y^{-1})}{(y-y^{-1})}$$

Im Zähler kann man nun noch die zweite binomische Formel anwenden. Im Nenner die dritte:

$$\frac{y^n(y-1)}{y+1}$$

(Beachte für die binomischen Formeln, dass \(y = \sqrt y^2\) und \(\frac1y = \left(\frac{1}{\sqrt y}\right)^2\) )

Grüße