Trigonometrie 3 : Beweise für das rechtwinklige Dreieck, dass die Werte von tan (α) können beliebig groß sein können.

Question

Beweisen

α +β sind die beiden spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks.

Beweise, dass dann die folgenden Behauptungen richtig sind.

a) sin (α) = cos (β)

b) Die Werte von cos(α) und von sin (α) sind stets kleiner als 1

c) Die Werte von tan (α) können beliebig groß sein
d) Ist das Dreieck gleichschenklig, so gilt sin (α) = cos (α) = tan (α) = 1

Würde mich wirklich sehr über eine Erklärung freuen bzw. über einen Hinweis, wie ich solche Aufgaben angehen kann!

Dankeschön
Sophie

Answer 1

Hi Sophie,

 

a) sin (α) = cos (β)

sin(α) = Gegenkathete/Hypotenuse = a/c

cos(β) = Ankathete/Hypotenuse = a/c

 

b) Die Werte von cos(α) und von sin (α) sind stets kleiner als 1

cos(α) = Ankathete/Hypotenuse; da Hypotenuse > Ankathete, folgt cos(α) < 1

Für sin(α) analog.

 

c) Die Werte von tan (α) können beliebig groß sein

tan(α) = Gegenkathete/Ankathete

Da man a und b beliebig verändern kann (also a beliebig groß und b beliebig klein machen kann), folgt die Aussage.

Zum Beispiel a = 1000, b = 0,01 => tan(α) = 100.000

 

d) Ist das Dreieck gleichschenklig, so gilt sin (α) = cos (α) = tan (α) = 1

Das sehe ich nicht :-(

 

Lieben Gruß

Andreas

Answer 2

α +β sind die beiden spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks.

Beweise, dass dann die folgenden Behauptungen richtig sind.

a) sin (α) = cos (β)

b) Die Werte von cos(α) und von sin (α) sind stets kleiner als 1

a: c < 1, da die Hypotenuse immer grösser als die Katheten ist.

c) Die Werte von tan (α) können beliebig groß sein

tan ALPHA = a: b. Wenn b fest ist, kann man a beliebig verlängern. Im Grenzwert ist dann tan ALPHA unendlich.
d) Ist das Dreieck gleichschenklig, so gilt sin (α) = cos (α) = tan (α) = 1

Stimm so nicht.

tan (ALPHA) = a: a = 1, weil a=b

Aber c = √(a^2 + a^2) = √(2a^2) = √2 * a

Daher cos ALPHA = sin ALPHA = a : (√2 a) = 1/√2