Polynomfunktion dritten Grades

Question

Aufgabe:

Eine Polynomfunktion 3. Grades hat den Tiefpunkt T(1|−1) und den Hochpunkt H(−1|3). Geben Sie den Term der Polynomfunktion an!

Problem/Ansatz:

… ich bin mir nicht sicher wie die aufgäbe gelöst wird ich bitte um Hilfe

Answer 1

Eine Polynomfunktion 3. Grades

Ansatz f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

hat den Tiefpunkt T(1|−1)

f ' (1)=0    und f(1)=-1

gibt 3a+2b+c=0   und a+bc+d=-1 (korrigiert!)

und den Hochpunkt H(−1|3)

f'(-1)=0    und  f(-1)=3 auch zu Gleichungen mit abcd

machen und diese ausrechnen.

Comments

mit welcher Formel löse ich die Gleichungen ?

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mit welcher Formel löse ich die Gleichungen ?

die Frage nach der Formel ist immer die falsche Frage!

In diesem Fall gibt es gar keine Formel, sondern setze die bereits vorhandenen Gleichungen ...$$3a+2b+c=0\\a+b+c+d=-1 \quad {}^*)\\ 3a-2b + c=0 \\ -a+b-c+d=3$$( *) hier hat mathef falsch gerechnet )

... so in einander ein, dass am Ende jede Unbekannte für sich allein in einer Gleichung steht.

Neben dem Einsetzverfahren gibt es noch das Additions- und Subtraktions-Verfahren.

In diesem Fall ziehe doch mal die dritte Gleichung von der ersten ab. Es bleibt:$$4b=0 \implies b=0$$und addiert man die zweiten und die vierte Gleichung, erhält man$$2b+2d=2 \implies d=1$$weil \(b\) ja schon \(b=0\) ist. Mit diesen beiden Lösungen bleibt noch übrig:$$3a+c=0 \\ a+c=-2$$beides von einander abgezogen gibt$$2a=2 \implies a=1$$und \(c\) muss demnach \(c=-3\) sein (warum?).

Dann überprüfe das Ergebnis mal im Graphen:

~plot~ {1|-1};{-1|3};x^3-3x+1;3;-1 ~plot~

das sieht sinnvoll aus!

Answer 2

Ansatz: (x)=ax³+bx²+cx+d

f '(x)=3a²+2bx+c

f(1)=-1 oder  (1) -1=a+b+c+d

f(-1)=3 oder  (2)  3=-a+b-c+d

f '(1)=0 oder  (3) 0=3a+2b+c

f '(-1)=0 oder (4) 0=3a-2b+c

Löse das System und setze a, b, c, d in den Ansatz ein.

Comments

mit welcher Formel löse ich das System?

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Ein Gleichungssystem löst man nicht mit einer Formel sondern mit einem der folgenden Verfahren:

Additionsverfahren, Subtraktionsverfahren, Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren, gaußsches Elimitationsverfahren.

Zu jedem dieser Verfahren findest du etwas im Netz.

Answer 3

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Die Gesuchte ist ein Polynom 3-ten Grades und hat Extremstellen bei \(1\) und \((-1)\). Beide Stellen müssen daher auch Nullstellen der ersten Ableitung sein. Daher kennen wir die erste Ableitung bis auf eine Konstante \(a\):$$f'(x)=a(x-1)(x+1)=a(x^2-1)=ax^2-a$$Die Gesuchte bekommen wir, wenn wir uns die Funktion überlegen, von der das die Ableitung ist:$$f(x)=\frac a3x^3-ax+b$$mit einer weiteren Konstanten \(b\).

Wir setzen die Punkte \(T(1|-1)\) und \(H(-1|3)\) ein:$$-1=f(\phantom{-}1)=\phantom{-}\frac a3-a+b=-\frac23a+b$$$$\phantom{-}3=f(-1)=-\frac a3+a+b=+\frac23a+b$$Wir addieren beide Gleichungen und finden:$$(-1)+3=-\frac23a+b+\frac23a+b=2b\implies2=2b\implies b=1$$Durch Einsetzen in die untere Gleichung bekommen wir \(a\):$$3=\frac23a+1\implies2=\frac23a\implies a=3$$

Damit haben wir die gesuchte Funktion:$$f(x)=x^3-3x+1$$

~plot~ x^3-3x+1 ; {-1|3} ; {1|-1} ; [[-3|3|-5|6]] ~plot~

Answer 4

"Eine Polynomfunktion 3. Grades hat den Tiefpunkt T(1|−1) und den Hochpunkt H(−1|3). Geben Sie den Term der Polynomfunktion an!"

Ich verschiebe den Graph um 1 Einheit nach oben:
Tiefpunkt T´(1|0) → doppelte Nullstelle   Hochpunkt H´(−1|4)    
f(x)=a*(x-1)^2*(x-N)

H´(−1|4)

f(x)=a*(x-1)^2*(x-N)

f(-1)=a*(-1-1)^2*(-1-N)=4a*(-1-N)

1.)4a*(-1-N)=4  →a*(-1-N)=1

Extremwerteigenschaft:

f´(x)=a*[2*(x-1)*(x-N)+(x-1)^2]

f´(-1)=a*[2*(-1-1)*(-1-N)+(-1-1)^2]=a*[-4*(-1-N)+4]

a*[-4*(-1-N)+4]=0

-4*(-1-N)+4=0 → N=-2     a*(-1+2)=1    a=1

f(x)=(x-1)^2*(x+2)

Nun wieder 1 Einheit nach unten:

p(x)=(x-1)^2*(x+2)-1