Zeigen Sie durch vollständige Induktion...

Question

Könnt ihr mir bei folgender Aufgabe helfen? Ich zerbrech mir seit Tagen denn Kopf, aber ich kriegs nicht hin.

Aufgabe:

Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion:

a)N 3 + (N + 1)3 + (N + 2)3 ist durch 9 teilbar für alle N ∈ℕ₀.

b)\( \sum\limits_{n=0}^{N}{\frac{1}{2^{n}}} \) = 2·(1-\( \frac{1}{2^{N+1}} \)) für alle N ∈ℕ₀.

c)\( \prod\limits_{n=2}^{N}{(1-\frac{n-1}{n}}) \) = \( \frac{1}{N!} \) für alle N ≥ 2.

d)\( \sum\limits_{n=1}^{2^N}{\frac{1}{n}} \) ≥ 1 +\( \frac{N}{2} \) für alle N ∈ℕ.

Ich bin für jede Hilfe dankbar.

Answer 1

Hallo,

a)

 \(9|( n^3 + (n + 1)^3 + (n+2)^3) \\ \text{ für alle } n \in\N\)

Den Induktionsanfang bekommst du für n=1 bestimmt selbst hin.

Ind.Vorauss.

Für ein bestimmtes n∈ℕ gilt:

\( n^3 + (n + 1)^3 + (n + 2)^3=9k\)

Ind.Schritt:

Gilt es auch für n+1?

\( (n+1)^3 + (n + 2)^3 + (n + 3)^3 \\= 9k- n^3+(n+3)^3\\=9k-n^3+ n^{3}+9 n^{2}+27 n+27 \\=9k+9 n^{2}+27 n+27\\=9(k+ n^{2}+3 n+3)   \)

c)

\( \prod\limits_{n=2}^{N}{(1-\frac{n-1}{n}})\\=\prod\limits_{n=2}^{N}(1-(1-\frac{1}{n}))\\=\prod\limits_{n=2}^{N}{(\frac{1}{n}})\\=\frac{1}{2\cdot3\cdot N}\\=\frac{1}{N!}\)

Zu d) findest du hier Tipps.

 :-)