Polynomdivison dritten Grades

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle Lösungen der Gleichung 5x^3 −21x^2 −11x+3 = 0

Problem/Ansatz:

… ich bitte um den Rechenweg von solchen Aufgaben .

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Ich würde versuchen, den Ausdruck etwas umzuformen:$$\phantom{=}5x^3-21x^2-11x+3=5x^3\,\overbrace{-x^2-20x^2}^{=-21x^2}+\overbrace{4x-15x}^{=-11x}+3$$$$=(5x^3-x^2)-(20x^2-4x)-(15x-3)=x^2(5x-1)-4x(5x-1)-3(5x-1)$$$$=(x^2-4x-3)(5x-1)$$Aus der letzen Klammer lesen wir die Nullstelle \(x_1=\frac15\) ab.Die Nullstellen der ersten Klammer erhalten wir mit der pq-Formel:$$x_{1;2}=2\pm\sqrt{2^2+3}=2\pm\sqrt 7$$

Damit haben wir drei Nullstellen gefunden:$$x_1=\frac15\quad;\quad x_2=2-\sqrt 7\quad;\quad x_3=2+\sqrt 7$$

Answer 2

(1) Verwende einen Taschenrechner, der sowas kann.

oder

(2) Verwende den Nullstellensatz von Gauß, Polynomdivision und pq-Formel.

Comments

leider darf ich den Taschenrechner nicht benutzen .

und da die Lösung aus Dezimal zahlen besteht kann ich keine polynomdivison machen

.

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Über den Nullstellensatz von Gauß findet man eine Lösung, nämlich x=1/5. Polynomdivision durch (x-1/5) ergibt einen quadratischen Faktor, dessen Nullstellen sich leicht bestimmen lassen.

Answer 3

Multipliziere die Gleichung mit \(5^2\):

\((5x)^3-21(5x)^2-55(5x)+75=0\).

Wir substituieren \(y=5x\):

\(y^3-21y^2-55y+75=0\).

Wenn es sich um eine "freundliche" Aufgabe handelt, ist eine der Lösungen

ein Teiler von \(75\). Wir fangen mit \(y=1\) an und haben sofort Glück:

\(1\) ist eine Nullstelle.

Polynomdivision liefert:

\((y^3-21y^2-55y+75):(y-1)=y^2-20y-75=0\).

Die pq-Formel liefert \(y_{2,3}=10\pm 5\sqrt{7}\).

Für die ursprünglichen \(x\)-Werte bekommen wir:

\(x_1=\frac{1}{5},\; x_2=2-\sqrt{7}, \; x_3=2+\sqrt{7}\).