(Extremwertprobleme) Was ist falsch an meiner Lösung?

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f mit

f(x)=1/6x^3-3/2x

Der Punkt P liegt im 2. Quadranten auf dem Graphen von f. Die Gerade OP, die x-Achse sowie die Parallele zur y-Achse durch P begrenzen ein Dreieck OPQ.

Untersuchen Sie, ob es eine Lage des Punktes P gibt, für die der Flächeninhalt dieses Dreiecks ein Maximum annimmt.

Problem/Ansatz/ Lösung

Ich habe versucht die Aufgabe zulösen und kam auf dem Ergebnis P(0|0).

Ich weiß aber, dass es nicht stimmt, weil P so gar nicht im 2. Quadranten liegt.

Kann jemand also mir sagen, was ich falsch gemacht habe?

Meine Lösung:

P(x|f(x))

A(x)=1/2•x•f(x)

A(x)=1/2x•(1/6x^3 - 3/2x)

A(x)= 1/12x^4 - 3/4x^2

-3<x<0

1. Ableitungen

A‘(x)=1/3x^3 - 3/2x

A‘‘(x)=x^2 - 3/2

2. not. Bed. A‘(x)=0

1/3^3 - 3/2x = 0

—> x= 0

   x= -2.12

   x=  2.12

3. hinr. Bed. A‘(x)=0 und A‘‘(x)<0

A‘‘(0)= -3/2 <0

A‘‘(-2.12)= 2.9844 >0

A‘‘(2.12)= 2.9844 >0

—> HP(0|A(0))

A(0)=0

—> P(0|0)

Answer 1

Wenn der Punkt P im 2. Quadranten liegt, müsste dann A(x) negativ sein.

Comments

Mein Fehler :) hab es korregiert

Answer 2

Der Punkt P liegt im 2. Quadranten

Dann ist die x-Koordinate von P negativ.

A(x)=1/2•x•f(x)

Dann ist A(x) negativ, weil x negativ und f(x) positiv ist. Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist aber nicht negativ.

Das kannst du reparieren mittels.

        A(x) = -1/2•x•f(x)

Comments

Alternativ dazu kannst du natürlich dein A(x) nehmen und nach einem Tiefpunkt suchen.

Answer 3

f(x)=\( \frac{1}{6} \) x^3 -\( \frac{3}{2} \) x

Der Punkt P liegt im 2. Quadranten auf dem Graphen von f. Die Gerade OP, die x-Achse sowie die Parallele zur y-Achse durch P begrenzen ein Dreieck OPQ.

A=\( \frac{u}{2} \)*f(u) soll maximal werden.

f(u)=\( \frac{1}{6} \)u^3-\( \frac{3}{2} \)u

A=\( \frac{u}{2} \)*(\( \frac{1}{6} \)u^3-\( \frac{3}{2} \)u)=\( \frac{1}{12} \)u^4-\( \frac{3}{4} \)u^2

A´=\( \frac{1}{3} \)u^3-\( \frac{3}{2} \)u

\( \frac{1}{3} \)u^3-\( \frac{3}{2} \)u=0|*6

2u^3-9u=0

u*(2u^2-9)=0

u₁=0

2u^2-9=0

u^2=\( \frac{9}{2} \)

u₂=\( \frac{3}{2} \)\( \sqrt{2} \)

u₃=-\( \frac{3}{2} \)\( \sqrt{2} \)