Bestimmen Sie die explizite Lösung der Rekursionsgleichung

Question

Moin, ich habe Probleme mir folgender Aufgabe :

Aufgabe:

Bestimmen Sie die explizite Lösung der Rekursionsgleichung

y_n+2 - 7y_n+1 + 10y_n = 3ⁿ für n ≥ 0,   y₀= 0, y₁=1.

Ansatz:

y_n=y_n^H+y_n^S (Die Lösung setzt sich aus der Lösung der homogenen und der speziellen Gleichung zusammen)

y_n^H = y_n+2 -7y_n+10y_n. =>   y_n=λⁿ    

=> λ² - 7λ + 10 = 0

mit pq-Formel:

λ₁=5, λ₂=2

FLS des homogenen Teil =[ 5ⁿ,2ⁿ]

Homogene Lösung : y_n^h = c₁⁵ⁿ+ c₂²ⁿ

Jetzt weiß ich leider nicht wie ich mit dem Inhomogenen Teil 3ⁿ fortfahren soll...

Answer 1

Hallo

mach den Ansatz yn=A*3^n setze ihn ein  in die inh. Gl und bestimme A

Deine Schreibweisen sind so falsch, deine = bedeuten  nicht gleich sondern ich will was tun. y_nH = y_n+2 -7y_n+1+10y_n. ist falsch, verwende "=" wirklich nur  wenn linke und rechte Seite gleich sind.  Du meinst: ich bestimme yH durch yn+2 -7yn+1+10yn=0 mit dem Ansatz......

das yh ist dann wohl nur ein Tipfehler.

Gruß lul

Comments

Hi,

In die Gleichung eingesetzt:

A*3ⁿ⁺² -7A3ⁿ⁺¹+10A*3ⁿ=3ⁿ | /3ⁿ

9A-21A+10A=1

A=-\( \frac{1}{2} \)

y^s ist also \( \frac{1}{2} \)3ⁿ

yⁿ =c₁5ⁿ +c₂2ⁿ -\( \frac{1}{2} \)3n

Dann in die Anfangsbedingungen eingesetzt :

0=c₁+c₂ -\( \frac{1}{2} \)

1=c₁*5+c₂*2-\( \frac{3}{2} \)

Gleichungssystem gelöst und als Ergebnis habe ich :

c₁=\( \frac{1}{2} \)

c₂ = 0

yn =\( \frac{1}{2} \)5ⁿ +0*2ⁿ -\( \frac{1}{2} \)3n

Kann das richtig sein? Mich irritiert die c₂=0 etwas :/

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Hallo

alles richtig , warum ist c2=0 schlimmer als c2=17?

Gruß lul

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Ok, danke für deine Hilfe !