Aufgabe:
Kreativität:
Bestimmen Sie die Lösung für die Rekursionsgleichung
\( x_{n}=_{\text {def }} n+1-2 x_{n-1}-x_{n-2} \quad \text { für } n \geq 2 \)
mit den Anfangsbedinungen \( x_{1}=_{\text {def }} 4 \) und \( x_{0}=_{\text {def }} 1 \).
Ich benötige am Schluss eine explizite Darstellung xn = …
nein, da sollte am schluss xn= irgendwas stehen, dass nicht mehr rekursiv is, sondern nur noch in Abhängigkeit von n
Ich habe mal die ersten zehn Folgeglieder ausgerechnet und es scheint folgendes zu gelten:
x2n+1 = 4·(2n + 1) und x2n = 1 - 7n für n ≥ 0.
Zum Beweis ist möglicherweise Induktion geeignet.
Ich habe auch x2 = -6 und x3 = 12. Daraus berechne ich x4 = 4 + 1 - 2x3 - x2 = 5 - 2·12 + 6 = -13. Wie berechnest du denn x4 = -15 ?
Du kannst es auch so schreiben:
\( x_{n}=\left\{\begin{array}{ll}1-7 \cdot \frac{n}{2}, & \text { falls } \mathrm{n} \text { gerade } \\ 4 \cdot n & , \text { falls } \mathrm{n} \text { ungerade }\end{array}\right. \)
Ich weiß jetzt was du meinst.
xn = [ (-1)n·(2 - 15·n) + n + 2] / 4 für n ≥ 0.
ich bin mittlerweile selber auf eine andere Lösung gekommen:
xn=(-5n+1+(3n)/2)*(-1)^n-((-1)^n-1)*((3/4)+(1/2)*((n-1)/2))
könntest du deine Lösung irgendwie erklären oder bist du da durch ausprobieren/hinsehen draufgekommen?
Seien an und bn zwei Zahlenfolgen und xn definiert durch xn := an, falls n gerade und xn := bn, falls n ungerade. Dann gilt wie man leicht nachrechnet xn = (1/2)·(1 + (-1)n)·an + (1/2)·(1 - (-1)n)·bn. Nun habe ich für an und bn die vermuteten Bildungsgesetze eingesetzt, das Ergebnis etwas zusammengefasst und so die oben genannte Darstellung für xn erhalten. Ein Beweis ist das aber noch nicht. Dafür ist möglicherweise das Induktionsverfahren geeignet.
Ein Beweis ist meines Erachtens deswegen notwendig, da die bisherigen Überlegungen zwar eine Übereinstimmung mit den ersten zehn Werten aufweisen, aber es sich letztlich um eine Vermutung handelt. Womöglich existiert aber auch ein Verfahren, mit dem man die explizite Darstellung von xn auch direkt ermitteln kann.
ok, hab mich jetzt mal daran versucht, aber komm mit dem induktionsschritt nicht ganz klar..
Induktionsanfang ist ja einfach die Anfangsbedingung und die InduktionsVoraussetzung die Fornel auf die wir gekommen sind. Aber was steht beim Induktionsschritt?
xn+1=? bzw. xn-1=?
Induktionsschritt: Zu zeigen ist: xn+1 = [(-1)n+1·(2 - 15·(n + 1)) + (n + 1) + 2]/4. Nach Definition und Induktionsvoraussetzung gilt xn+1 = (n + 1) + 1 - 2·xn - xn-1 = n + 2 - 2·[(-1)n·(2 - 15·n) + n + 2]/4 - [(-1)n-1·(2 - 15·(n - 1) + (n - 1) + 2]/4 = [4·n + 8 + (-1)n+1·(4 - 30·n) - 2·n - 4 - (-1)n+1·(17 - 15·n) - n - 1]/4 = [(-1)n+1·(-13 - 15·n) + n + 3]/4 = [(-1)n+1·(2 - 15·(n + 1)) + (n + 1) + 2]/4.
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