Bestimmen Sie die Lösung für die Rekursionsgleichung: x_n:= n+1– 2x_n-1 – x_n-2

Question

Aufgabe:

Kreativität:

Bestimmen Sie die Lösung für die Rekursionsgleichung

\( x_{n}=_{\text {def }} n+1-2 x_{n-1}-x_{n-2} \quad \text { für } n \geq 2 \)

mit den Anfangsbedinungen \( x_{1}=_{\text {def }} 4 \) und \( x_{0}=_{\text {def }} 1 \).

Ich benötige am Schluss eine explizite Darstellung x_n = …

Comments

Was genau brauchst du da? Einfach eine Aufzählung der Folgeglieder?

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nein, da sollte am schluss x_n= irgendwas stehen, dass nicht mehr rekursiv is, sondern nur noch in Abhängigkeit von n

Answer 1

Ich habe mal die ersten zehn Folgeglieder ausgerechnet und es scheint folgendes zu gelten:

x_2n+1 = 4·(2n + 1)  und  x_2n = 1 - 7n  für  n ≥ 0.

Zum Beweis ist möglicherweise Induktion geeignet.

Comments

Hab auch die ersten 8 berechnet und bei mir sind diese ab n = 2 : -6, 12, -15, 24, -26, 36, -37

Darauf treffen deine Funktionen nicht wirklich zu...

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Ich habe auch  x₂ = -6  und  x₃ = 12. Daraus berechne ich  x₄ = 4 + 1 - 2x₃ - x₂ = 5 - 2·12 + 6 = -13. Wie berechnest du denn  x₄ = -15 ?

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hattte mich wohl verrechnet, dann stimmt deine lösung, aber ich hääte gern eine lösung für gerade und ungerade n. Ich habe schon den homogenen und den inhomogenen Teil der Rekursionsgleichung extra berechnt  und dann addiert, aber es kommen nicht ganz die gleichen Lösungen raus..

Meine Lösung wäre x_n=(-5n+1)*(-1)^n+(1/4)n+1

aber die Lösungen sind dort leicht verschoben..

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Du kannst es auch so schreiben:

\( x_{n}=\left\{\begin{array}{ll}1-7 \cdot \frac{n}{2}, & \text { falls } \mathrm{n} \text { gerade } \\ 4 \cdot n & , \text { falls } \mathrm{n} \text { ungerade }\end{array}\right. \)

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Ich weiß jetzt was du meinst.

x_n = [ (-1)ⁿ·(2 - 15·n) + n + 2] / 4  für  n ≥ 0.

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ich bin mittlerweile selber auf eine andere Lösung gekommen:

x_n=(-5n+1+(3n)/2)*(-1)^n-((-1)^n-1)*((3/4)+(1/2)*((n-1)/2))

könntest du deine Lösung irgendwie erklären oder bist du da durch ausprobieren/hinsehen draufgekommen?

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Seien  a_n  und  b_n  zwei Zahlenfolgen und  x_n  definiert durch

x_n := a_n, falls  n  gerade  und  x_n := b_n, falls  n  ungerade.

Dann gilt wie man leicht nachrechnet

x_n = (1/2)·(1 + (-1)ⁿ)·a_n + (1/2)·(1 - (-1)ⁿ)·b_n.

Nun habe ich für  a_n  und  b_n  die vermuteten Bildungsgesetze eingesetzt, das Ergebnis etwas zusammengefasst und so die oben genannte Darstellung für  x_n  erhalten. Ein Beweis ist das aber noch nicht. Dafür ist möglicherweise das Induktionsverfahren geeignet.

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vielen Dank! Das hat mir weitergeholfen. Ist, wenn man die Rechenwege ausführlich hinschreibt überhaupt noch ein Beweis nötig?

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Ein Beweis ist meines Erachtens deswegen notwendig, da die bisherigen Überlegungen zwar eine Übereinstimmung mit den ersten zehn Werten aufweisen, aber es sich letztlich um eine Vermutung handelt. Womöglich existiert aber auch ein Verfahren, mit dem man die explizite Darstellung von  x_n  auch direkt ermitteln kann.

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ok, hab mich jetzt mal daran versucht, aber komm mit dem induktionsschritt nicht ganz klar..

Induktionsanfang ist ja einfach die Anfangsbedingung und die InduktionsVoraussetzung die Fornel auf die wir gekommen sind. Aber was steht beim Induktionsschritt?

x_n+1=? bzw. x_n-1=?

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Induktionsschritt: Zu zeigen ist:

x_n+1 = [(-1)ⁿ⁺¹·(2 - 15·(n + 1)) + (n + 1) + 2]/4.

Nach Definition und Induktionsvoraussetzung gilt

x_n+1 = (n + 1) + 1 - 2·x_n - x_n-1

      = n + 2 - 2·[(-1)ⁿ·(2 - 15·n) + n + 2]/4 - [(-1)^n-1·(2 - 15·(n - 1) + (n - 1) + 2]/4

      = [4·n + 8 + (-1)ⁿ⁺¹·(4 - 30·n) - 2·n - 4 - (-1)ⁿ⁺¹·(17 - 15·n) - n - 1]/4

      = [(-1)ⁿ⁺¹·(-13 - 15·n) + n + 3]/4

      = [(-1)ⁿ⁺¹·(2 - 15·(n + 1)) + (n + 1) + 2]/4.