Wie löst man das Integral ∫ √(R²-x²)

Question

wie löst man folgendes Integral?

$$ \int \sqrt { R ^ { 2 } - x ^ { 2 } } $$

Answer 1

Du musst einmal partiell integrieren. Danach ziehst du das Integral über

-x²/√(R²-x²) auseinander gemäß

-x²/√(R²-x²) = (R²-x²+R²)/√(R²-x²) = (R²-x²)/√(R²-x²) + R²/√(R²-x²) = √(R²-x²) + R²/√(R²-x²)

Dann substituierst du mit x = R*sin(u), also u = arcsin(x/R). Du erhältst schließlich:

$$ \int \sqrt { R ^ { 2 } - x ^ { 2 } } d x = x \sqrt { R ^ { 2 } - x ^ { 2 } } - \int \frac { - x ^ { 2 } } { \sqrt { R ^ { 2 } - x ^ { 2 } } } d x \\ \int \sqrt { R ^ { 2 } - x ^ { 2 } } d x = x \sqrt { R ^ { 2 } - x ^ { 2 } } - \int \sqrt { R ^ { 2 } - x ^ { 2 } } d x + \int \frac { R ^ { 2 } } { \sqrt { R ^ { 2 } - x ^ { 2 } } } d x \quad | + \int \sqrt { R ^ { 2 } - x ^ { 2 } } d x \\ 2 \int \sqrt { R ^ { 2 } - x ^ { 2 } } d x = x \sqrt { R ^ { 2 } - x ^ { 2 } } + \int \frac { R ^ { 2 } } { \sqrt { R ^ { 2 } - x ^ { 2 } } } d x \\ \int \sqrt { R ^ { 2 } - x ^ { 2 } } d x = \frac { 1 } { 2 } \left( x \sqrt { R ^ { 2 } - x ^ { 2 } } + \int \frac { R ^ { 2 } } { \sqrt { R ^ { 2 } - R ^ { 2 } \sin ^ { 2 } ( u ) } } R \cos ( u ) d u \right) \\ = \frac { 1 } { 2 } \left( x \sqrt { R ^ { 2 } - x ^ { 2 } } + \int R ^ { 2 } d u \right) \\ = \frac { 1 } { 2 } \left( x \sqrt { R ^ { 2 } - x ^ { 2 } } + R ^ { 2 } u + C \right) = \frac { 1 } { 2 } \left( x \sqrt { R ^ { 2 } - x ^ { 2 } } + R ^ { 2 } \arcsin \left( \frac { x } { R } \right) \right) $$