Bild und Kern einer linearen Abbildung eines Polynoms

Question

Aufgabe:Sei V Vektorraum der Polynome über R vom Grad<=2 Sei f : V->V definiert durch $$ \sum \limits_{n=0}^{2} a^{i} T^i $$  = (a2 + 2a1)T + (a1 + a0)

Gesucht Basen von Kern(f) und Bild(f)

Problem/Ansatz: Kern habe ich gelöst indem ich das homogene LGS $$ \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$ mit a0 = -1/2 a1=1/2 a2=-1 gelöst habe.

So das Bild müsste laut Rangsatz Dim=2 haben, aber ich komme nicht drauf auf den Ansatz, habe irgendwie einen Knoten im Hirn.

Answer 1

Hallo

1, ich denke in deiner Matrix sind erste und zweite Zeile vertauscht. wenn ich deine mit (a0,a1,a2) multipliziere kommt nicht das gegebene Ergebnis raus.

2. such einfach die Bilder der Standard Einheitsvektoren

Gruß lul

Comments

Danke mal, ja du hast recht die erste und zweite Zeile sind vertauscht, aber nochmal zu 2)  die standard Polynome sind  1,T und T^2  wie setze ich die in die Funktion ein ?

---

Hallo

als Vektoren geschrieben sind die (1,0,0) (0,1,0) und (0,0,1)

oder als Polynom eben a0=1 a1=0 a2=0. für den ersten Basisvektor, entsprechend die anderen

so sieht man direkt dass 1 auf 1 abgebildet wird , T auf  1+2T

und T^2 auf T

damit ist das Bild der VR der Polynom Grad <=1

lul

---

Wieso wird T auf T² abgebildet das verstehe ich jetzt nicht ? T² kommt doch bei der Abbildung nicht vor die ist doch (a2 + 2a1)T + (a1 + a0)

da kann ich doch nichts auf T²  abbilden ?

---

Hallo

wenn a0+a1T +a2T^2 auf (a2 + 2a1)T + (a1 + a0) abgebildet wird. wird  T^2=0+0*T+1*T^2 auf  (1+2*0)T*(0+0)T^2 =T abgebildet

Gruß lul