Höhe ursprüngliche Einzahlung auf das Sparbuch?

Question

Aufgabe:

Ein Vater legt zum 9. Geburtstag seiner Tochter einen Geldbetrag auf ein Sparbuch mit jährlicher Verzinsung, um ihr zu ihrem 23. Geburtstag ein Startkapital in Höhe von 420000 GE zu sichern. 5 Jahre nach der Einzahlung setzt die Bank den Zinssatz auf 6.30% herab und der Vater muss 23288.78 GE nachzahlen, um die Endsumme zu sichern.

a. Welchen Zinssatz hatte die Bank anfangs gewährt? (Ergebnis in Prozent)
b. Wie hoch war die ursprüngliche Einzahlung auf das Sparbuch?

Answer 1

ursprünglichen Kapital k und urspr. Zinssatz p ergibt

k*(1+p/100)¹⁴ = 420000    #   geändert:

(k*(1+p/100)⁵ +  23288.78)*1,063⁹  = 420000 

==> k*(1+p/100)⁵ +  23288.78  = 242358,84

==>   k*(1+p/100)⁵  = 219065,06

==>    k= 219,065,06 /  (1+p/100)⁵

Einsetzen bei #       219065,06 * (1+p/100)¹⁴  /  (1+p/100)⁵ = 420000

219065,06 * (1+p/100)⁹   = 420000

(1+p/100)⁹ =1,917

9.Wurzel

   1+p/100 = 1,075

Also Anfangszinssatz 7,5% und Kapital

k= 219065,06 /  (1,075)⁵  =   152591,66