Vollständige Induktion - Hilfe?

Question

Aufgabe:

Für einen Körper \( K, x \in K \) und \( n \in \mathbf{N}_{0} \) sei \( x^{n} \) rekursiv durch \( x^{0}:=1, x^{n+1}:=x \cdot x^{n} \) definiert und das Summenzeichen als \( \sum \limits_{k=0}^{-1} f(k):=0 \) \( \sum \limits_{k=0}^{n} f(k):=f(n)+\sum \limits_{k=0}^{n-1} f(k) \). Zeigen Sie für \( n \in \mathbf{N}_{0} \) und \( x \neq 1 \) mit Hilfe vollständiger Induktion
\( \sum \limits_{k=0}^{n} x^{k}=\frac{x^{n+1}-1}{x-1} \)

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand eventuell Starhilfe geben bzw. erklären, was genau ich machen muss? Ich kenne mich mit der Induktion aus, aber weiß nicht genau, was ich hier beweisen soll und wie.

Answer 1

Hallo :-)

Wofür brauchst du die vorgebene rekursive Abbildung mit \(f\)?

Zeigen Sie für \( n \in \mathbf{N}_{0} \) und \( x \neq 1 \) mit Hilfe vollständiger Induktion\( \sum \limits_{k=0}^{n} x^{k}=\frac{x^{n+1}-1}{x-1} \)

Dafür brauchst du den Rest der Aufgabe doch gar nicht, um die Behauptung zu zeiegn.

Comments

Ohne eine aus einer Definition stammenden Kenntnis über die Bedeutung von Summenzeichen und Potenzen wird man wohl kaum etwas über sie beweisen können.

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Es erscheint halt seltsam, da doch sowas i.d.R nicht erst in einer Aufgabe definiert wird.

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Es geht hier nicht speziell um reelle Zahlen, sondern um IRGENDEINEN Körper.

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Ich behaupte nicht, dass es hier nur um reelle Zahlen geht.