Prüfen auf Gruppen, Halbgruppen und abelsche Gruppen

Question

Hallo zusammen,

ich soll prüfen, ob eine Halbgruppe, Gruppe oder abelsche Gruppe vorliegt:

1. G = {f|f : X → X Funktion} auf einer nichtleeren Menge X und ◦ als Komposition von Funktion

2. G= {x ∈ R :x > 1} und a ◦ b = ab − a − b + 2

Leider bekomme ich keinen richtigen Ansatz hin, und weiß auch nicht, wie ich G1 - G5 bei diesen expliziten Beispielen lösen soll. Würde mich sehr über einen Lösung mit Lösungsweg freuen.

Vielen lieben Dank im Voraus!

Answer 1

.G = {f|f : X → X Funktion} auf einer nichtleeren Menge X und ◦ als Komposition von Funktionen

Abgeschlossenheit:  Komposition von Funktionen von X nach X gibt wieder eine
                                       Funktion von X nach X

Assoziativ:  Gilt bei Komposition. Zeige einfach: Bei drei beliebigen Funktionen
                    von X nach X gilt für alle x∈X     ((fog)oh)(x) = (fo(goh))(x)

neutral. El.     id:X → X mit id(x)=x für alle x∈X .

Somit Halbgruppe.

Wenn X mehr als ein Element hat, etwa a≠b beide aus X,

dann hat z.B. die Abb.f mit f(a)=f(b)=a keine Inverse, also ist es i. allg. keine

Gruppe .

Und kommutativ ist Komposition i. allg. auch nicht. Nimm zu dem f noch

g hinzu mit   g(a)=g(b)=b

G= {x ∈ R :x > 1} und a ◦ b = ab − a − b + 2

Abgeschlossen: Hier musst du schauen, ob für je zwei a,b aus G,

also beide größer 1 auch a ◦ b wieder größer 1 ist.

Das kann man so begründen:

              ab − a − b + 2 > 1    | +b

<=>       ab − a + 2 > 1 +  b   | -2

<=>      ab − a         >  b   - 1   

<=>    a* (b-1)    >  b   - 1

und wegen a>1 ist das erfüllt.

etc.

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Vielen Dank!