Aloha :)
Wir bilden die Jacobi-Matrizen der drei Funktionen:$$\vec f_1(x)=\begin{pmatrix}1\\x\\x^2\end{pmatrix}\quad\implies\quad D\vec f_1(x)=\begin{pmatrix}0\\1\\2x\end{pmatrix}$$$$\vec f_2(\vec y)=\begin{pmatrix}\sin y_1-\cos y_2\\e^{y_3}\end{pmatrix}\quad\implies\quad D\vec f_2(\vec y)=\begin{pmatrix}\cos y_1 & \sin y_2 & 0\\0 & 0 & e^{y_3}\end{pmatrix}$$$$f_3(\vec z)=z_1z_2\quad\implies\quad Df_3(\vec z)=\begin{pmatrix}z_2 & z_1\end{pmatrix}$$Die Jacobi-Matrizen existieren für den gesamten Defiinitionsbereich der jeweiligen Funktionen und alle Komponenten sind stetig, daher ist jede der drei Funktionen total differenzierbar.
Gemäß der Kettenregel ist auch die Hintereinanderausführung der drei Funktionen (total) differenzierbar und es gilt:$$(f_3\circ \vec f_2\circ \vec f_1)'(x)=Df_3(\;\vec f_2(\vec f_1(x))\;)\cdot D\vec f_2(\;\vec f_1(x)\;)\cdot D\vec f_1(x)$$$$\phantom{(f_3\circ \vec f_2\circ \vec f_1)'(x)}=Df_3(\;\sin 1-\cos x\,;\,e^{x^2}\;)\cdot D\vec f_2(\;1;x;x^2\;)\cdot D\vec f_1(x)$$$$\phantom{(f_3\circ \vec f_2\circ \vec f_1)'(x)}=\begin{pmatrix}e^{x^2} & (\sin1-\cos x)\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\cos 1 & \sin x & 0\\0 & 0 & e^{x^2}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\2x\end{pmatrix}$$$$\phantom{(f_3\circ \vec f_2\circ \vec f_1)'(x)}=\begin{pmatrix}e^{x^2} & (\sin1-\cos x)\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\sin x\\2xe^{x^2}\end{pmatrix}$$$$\phantom{(f_3\circ \vec f_2\circ \vec f_1)'(x)}=e^{x^2}\sin x+2xe^{x^2}(\sin 1-\cos x)$$
Bei so "fummeligen" Aufgaben ist es übrigens oft besser, sich die verkettete Funktion explizit zu konstruieren:$$(f_3\circ \vec f_2\circ \vec f_1)(x)=(f_3\circ \vec f_2)(1;x;x^2)=f_3(\;\sin1-\cos x\,;\,e^{x^2}\;)=(\sin 1-\cos x)\,e^{x^2}$$Die kann man dann auch ganz einfach mit der Produktregel ableiten und das Ergebnis steht soforrt da ;)
