Integralaufgabe:
Die Differentialgleichung \( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} x=-a x \) führt auf das Integral \( \int \limits_{x\left(t_{0}\right)}^{x(t)} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=-a\left(t-t_{0}\right) \).
a) Integrieren Sie und formen Sie dann nach \( x(t) \) um.
b) Skizzieren Sie die Funktion \( x(t) \) für \( a>0 \) und \( t_{0}=0 \).
c) Nach welcher Zeit ist die Größe \( x \) auf \( \frac{1}{\mathrm{e}} \) ihres Anfangswertes \( x(0)=x_{0} \) abgeklungen?
d) Nach welcher Zeit ist die Größe \( x \) auf die Hälfte ihres Anfangswertes abgeklungen? Mit anderen Worten: Bestimmen Sie die Halbwertszeit \( t_{1 / 2} \).