Integration, Differentialgleichungen -ax

Question

Integralaufgabe:

Die Differentialgleichung $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} x=-a x$ führt auf das Integral $\int \limits_{x\left(t_{0}\right)}^{x(t)} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=-a\left(t-t_{0}\right)$.

a) Integrieren Sie und formen Sie dann nach $x(t)$ um.

b) Skizzieren Sie die Funktion $x(t)$ für $a>0$ und $t_{0}=0$.

c) Nach welcher Zeit ist die Größe $x$ auf $\frac{1}{\mathrm{e}}$ ihres Anfangswertes $x(0)=x_{0}$ abgeklungen?

d) Nach welcher Zeit ist die Größe $x$ auf die Hälfte ihres Anfangswertes abgeklungen? Mit anderen Worten: Bestimmen Sie die Halbwertszeit $t_{1 / 2}$.

Answer 1

Hallo

a)

dx/dt = -ax
dx/x = -a dt

∫1/x dx = -a ∫dt
ln x + C1 = -at + C2
ln x = -at + C3 | C3 = C2 - C1
x(t) = e^{-at + C3}
x(t) = C*e^-at | C = e^C3

b)

c)

x₀ = x(0) = C*e^-a*0 = C

C*e^-at  = C/e
e^-at  = 1/e
-at = ln(1/e) = ln 1 - ln e = -1
t = 1/a

d)

C*e^-at  = C/(2e)
e^-at 1/(2e)
-at = ln(1) - ln(2e) = -ln 2 - ln e = - ln 2 - 1
t = (-1 - ln 2/(-a) = -(1+ ln 2)/(-a) = (1 + ln 2)/a