Zeigen Sie, dass für alle v,w ∈ span(v1,....., vm) und alle α ∈ R gilt

Question

Aufgabe:

Seien v₁,...., v_m Vektoren in Rⁿ . Wir setzen
span(v_1,....., v_m) = R_v1 + ..... + R_vm:
Zeigen Sie, dass für alle v,w ∈ span(v_1,....., v_m) und alle α ∈ R gilt
(i) v + w ∈ span(v_1,....., v_m)
(ii) αv ∈ span(v_1,....., v_m)
Zeigen Sie weiter
(iii) Sei v ∈ span(v_1,....., v_m). Dann gilt
span(v_1,....., v_m ,v) = span(v_1,....., v_m)

Problem/Ansatz:

Seien v1,...., vm Vektoren in Rn . Wir setzen
span(v1,....., vm) = Rv1 + ..... + Rvm:
Zeigen Sie, dass für alle v,w ∈ span(v1,....., vm) und alle α ∈ R gilt
(i) v + w ∈ span(v1,....., vm)
(ii) αv ∈ span(v1,....., vm)
Zeigen Sie weiter
(iii) Sei v ∈ span(v1,....., vm). Dann gilt
span(v1,....., vm ,v) = span(v1,....., vm)

Answer 1

Zeigen Sie, dass für alle v,w ∈ span(v1,....., vm) und alle α ∈ R gilt
(i) v + w ∈ span(v1,....., vm)

Bew.: v,w ∈ span(v1,....., vm) ==> Es gibt a1,...,am und b1, ..., bm ∈ ℝ

mit  v= a1v1+...+amvm und w= b1v1+...+bmvm

==>  v+w = a1v1+...+amvm + b1v1+...+bmvm

               = (a1+b1)v1 + ... + (am+bm)vm

Also gibt es c1, ... , cm  [nämlich ci = ai+bi f. alle i von 1 bis m]

          mit v + w =  c1v1+...+cmv

        ==>  v + w ∈ span(v1,....., vm)

(ii) αv ∈ span(v1,....., vm)

Bew.:  Seien  v ∈ span(v1,....., vm)  und α∈ℝ

    ==>   Es gibt a1,...,am  ∈ ℝ mit v= a1v1+...+amvm

   ==>    αv =  α( a1v1+...+amvm )

                  =  (αa1)v1+...+(αam)vm

Also gibt es c1, ... , cm [nämlich ci = αai f. alle i von 1 bis m]
                      mit   αv  =  c1v1+...+cmv

==>                     αv ∈ span(v1,....., vm)

(iii) Sei v ∈ span(v1,....., vm). Dann gilt
       span(v1,....., vm ,v) = span(v1,....., vm)

1. Teil   span(v1,....., vm ,v) ⊆ span(v1,....., vm).

     Seien v ∈ span(v1,....., vm)  und  w ∈ span(v1,....., vm,v).

==>   Es gibt a1,...,am ∈ ℝ mit v= a1v1+...+amvm

und Es gibt b₁,...,b_m,b_m+1 ∈ ℝ mit w= b1v1+...+bmvm+b_m+1v

==>   w =  b1v1+...+bmvm+b_m+1*(a1v1+...+amvm )

           = (b1 + bm+1*a1)v1 + ... + (bm+bm+1*am)vm

Also gibt es c1, ... , cm [nämlich ci = bi+bm+1ai  f. alle i von 1 bis m]
                      mit w =  c1v1+...+cmvm

            ==>  w ∈  span(v1,....., vm).

2. Teil   span(v1,....., vm ,v)  ⊇ span(v1,....., vm).

 Sei w ∈ span(v1,....., vm).

==>  Es gibt a1,...,am ∈ ℝ mit w= a1v1+...+amvm

==>    w= a1v1+...+amvm + 0v

Also gibt es c1, ... , cm, c_m+1  
    [nämlich ci = ai f. alle i von 1 bis m und c_m+1=0 ]

                      mit w =  c1v1+...+cmvm+cm+1v

            ==>    w ∈  span(v1,....., vm,v).

Comments

Vielen Dank, das war ja sehr net