Höhe, Volumen und Oberflächeninhalt einer geraden Pyramide berechnen

Question

Hi, ich habe noch zwei Fragen zu Pyramiden.

Aufgabe 1:
Eine gerade Pyramide hat als Grundfläche ein Rechteck mit den Seitenlängen a=8cm b=6cm und die Länge der Seitenkanten ist s=13cm
a) Berechne die Höhe h der Pyramide
b) Berechne Volumen V der Pyramide
c) Berechne den Oberflächeninhalt O der Pyramide.

 

Aufgabe 2: Es gilt AB=BC=CD=DA=6cm
ME=MF=8cm
a) Berechne die Kantenlänge EB
b) Berechne das Volumen des Körpers
c) Berechne Oberflächeninhalt des Körpers

Hier eine Zeichnung des Körpers:

(ich bin nicht sehr künstlerisch,aber ich hoffe ihr könnt alles erkennen :)  )
Ich wäre sehr froh, wenn ihr die Rechenwege als Antwort mitschreibt,damit ich diese nachvollziehen und verstehen kann.!
 

Answer 1

Aufgabe 1: 
Eine gerade Pyramide hat als Grundfläche ein Rechteck mit den Seitenlängen a=8cm b=6cm und die Länge der Seitenkanten ist s=13cm

a) Berechne die Höhe h der Pyramide

(a/2)^2 + (b/2)^2 + h^2 = s^2

h = √(4s^2 - a^2 - b^2)/2 = 12 cm

b)Berechne Volumen V der Pyramide

V = 1/3 * a * b * h = 192 cm^3

c) Berechne den Oberflächeninhalt O der Pyramide.

O = a * b + a * √(h^2 + (b/2)^2) + b * √(h^2 + (a/2)^2) = 24·√17 + 24·√10 + 48 = 222.85 cm^2

Aufgabe 2: Es gilt AB=BC=CD=DA=6cm 
ME=MF=8cm

Ist die Grundfläche hier ein Quadrat? Wenn ja dann:

a) Berechne die Kantenlänge EB

EB = √((AB/2)^2 + (BC/2)^2 + ME^2) = √82 = 9,055 cm

b)Berechne das Volumen des Körpers

V = 2/3 * G * h = 2/3 * 6 * 6 * 8 = 192 cm^3

c)Berechne Oberflächeninhalt des Körpers

O = 4 * 6 * √(3^2 + 8^2) = 205,1 cm^2

Answer 2

Im Voraus: Ich kann dir nur die Seitenlängen und die Oberflächen Vorrechnen:

Zur Aufgabe 1:

a)

Das ist eine typische Pythagoras-Aufgabe... Man muss nur wissen, wie man das Dreieck nimmt! Und in diesem Fall ist es das Dreieck Eine Ecke, Die Mitte und die Spitze, z.b. AEM.  Da du die Längen der Grundseite hast, kannst du die halbe Diagonale ausrechnen und dann die Formel anwenden: 

h=b_Dreieck=√{s²-[√(a²+b²)/2]²}=√{13²-[√(8²+6²)/2]²}=4√(6)≈9.79798971

 

c) 

Da kann man ganz einfach Schritt für Schritt vorgehen:
Zuerst die Grundfläche ausrechnen:

G=a*b=6*8=48

...und nun eine der 2 Seitenflächen bei a, wobei man hier den Pythagoras nochmals braucht:

h_DreieckA=√(h_Pyramide²+[1/2*b]²)=√(9.79798971²+[1/2*6]²)≈10.24695077
A_DreieckA=h_DreieckA*a/2=10.24695077*8/2=85.41662602/2=42.70831301

Für die Anderen 2 Seiten einfach a mit b ersetzten und umgekehrt:

h_DreieckB=√(h_Pyramide²+[1/2*a]²)=√(9.79798971²+[1/2*8]²)≈10.58300524
A_DreieckB=h_DreieckB*b/2=10.24695077*6/2=63.49803147/2=31.74901573

 

Und zum Schluss alles zusammenrechnen:

S=G+2*A_DreieckA+2*A_DreieckB=48+85.41662602+63.49803147=196.9146575cm²

 

Bei der 2. Aufgabe gilt dasselbe! Hier musst du einfach den Satz umkehren:

a) EB=√(√{[a²+b²]/2}²+h²​)=√(√{[6²+6²]/2}²+8²)=√(82)≈9.055385138

 

c) Auch hier gilt dasselbe wie bei 1., jedoch hast du 8 mal dieselbe Seite anstatt 3 verschiedenen:

h_Dreieck=√√([1/2a]²+[ME]²​)=([1/2*6]²+8²)≈8.544003745

A_Dreieck=1/2*h_Dreieck*a=1/2*8.544003745*6=25.63201124

Und nun zusammenrechnen:

S=8*A_Dreieck=8*25.63201124=205.0560899cm²

 

Ich hoffe, ich konnte dir helfen und du verstehst es jetzt!

Simon