Habe die genaueren Vereinfachungen der Kürze (und da sie für die Aufgabe von geringer Bedeutung sind) halber weggelassen.
Hier sehr ausführlich für den Fall "\(n\) ist gerade":
\(\begin{aligned}\sum\limits_{i=1}^{n} (-1)^{i+1} i^2 &= \sum\limits_{i=1}^{\frac{n}{2}} 1-i\cdot 4 \\&= \frac{n}{2} - 4\cdot \sum\limits_{i=1}^{\frac{n}{2}}i \\ &= \frac{n}{2} - 4\cdot \frac{(\frac{n}{2})(\frac{n}{2}+1)}{2} \\ &= \frac{n}{2} -2 \cdot \frac{n}{2} \cdot \left(\frac{n}{2}+1\right) \\ &= \frac{n}{2} \cdot \left(1-2\cdot \left(\frac{n}{2} +1\right)\right) \\ &= \frac{n}{2} \cdot (-n-1) = -\frac{n}{2} \cdot (n+1)\end{aligned}\)
Ausführlich für den Fall "\(n\) ist ungerade":
Für eine ungerade Anzahl an Summengliedern geht die \(2\)er-Gruppierung ja offensichtlich nicht auf, da am Ende ein Summand alleine steht.
Bsp. der Summen für ungerade \(n\):
\(n=1\) => \(1\),
\(n=3\) => \((1-4)+9\),
\(n=5\) => \((1-4)+(9-16)+25\)
usw.
Aber du siehst doch, dass es (insofern du den alleinstehenden Summanden vernachlässigst) wieder nur \(2\)er-Gruppen gibt.
Also ziehst du den letzten Summanden aus der Summe raus (der ist im Übrigen immer positiv) und betrachtest die restlichen \(n-1\) Summanden in \(\frac{n-1}{2}\) Zweiergruppen.
Für die haben wir ja oben bereits den Ausdruck vereinfacht (d.h. du brauchst dort lediglich statt \(n\) eben \(n-1\) einsetzen => "analog s.o.").
Formal (\(n\) ist ungerade):
\(\begin{aligned}\sum\limits_{i=1}^{n} (-1)^{i+1} i^2 &= n^2 + \sum\limits_{i=1}^{n-1} (-1)^{i+1} i^2 \\ &\overset{analog \ s.o.}{=} n^2 + (-\frac{n-1}{2}\cdot (n-1+1)) \\ &= n^2 + (-\frac{n-1}{2}\cdot n) \end{aligned}\)
Und dann ist letztlich
\( n^2 + (-\frac{n-1}{2}\cdot n) = n\cdot (n - \frac{n-1}{2}) = n\cdot (\frac{2n}{2} - \frac{n-1}{2}) = n\cdot \frac{n+1}{2}\)
Möchte an dieser Stelle noch betonen, dass die Ausführungen lediglich Überlegungen sind, wie man auf die explizite Darstellung der Summe kommen könnte.
Neben der Gruppierung gäbe es natürlich auch die Idee, die Summe in zwei Teilsummen zu unterteilen (nämlich eine Summe über die positiven Summanden und eine über die negativen).
Deine eigentliche Aufgabe ist es dann per Induktion zu beweisen, dass die Summe tatsächlich diese explizite Darstellung hat.
