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Aufgabe:

Gegeben ist unabhängig vom Sachzusammenhang die Kurvenschar fk mit
fk(x) = 0,3⋅x3 + k⋅x2        , k > 0, x ∈ ℝ

Bestimmen Sie k so, dass der Graph von fk mit der x-Achse eine Fläche vom Inhalt 250 FE
einschließt. (Zur Kontrolle: k = 3)

Entscheiden Sie, ob eine Halbierung von k zu einer Halbierung des Flächeninhalts führt.


Problem/Ansatz:

Mein Problem ist dass ich beim Ausrechnen nicht auf k=3 komme sondern komische Zahlen. Habe die Stammfunktion gebildet und dann mit 250 gleichgesetzt und trotzdem kam nicht vernünftiges raus.

Meine Grenze war von 0 bis -k/3. Da ich die gegebene Funktion mit 0 gleichgesetzt habe.

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sondern komische Zahlen

Es wäre sinnvoll, wenn Du hier Deinen Rechenweg aufschreibst und sagst, wieso die Zahlen "komisch" seien.

Zu lösen ist

\( 250=\int \limits_{-\frac{10}{3} k}^{0}\left(0,3 x^{3}+k x^{2}\right) d x \)

\( \int\limits_{0}^{\ -\frac{k}{3}} \)0,3⋅x^3+ k⋅x^2=250 

Dann die Stammfunktion gebildet.

Es kann jedoch nicht k=3 raus sondern 2100/400 k^4

Wie kommst du auf -\( \frac{10}{3} \)k ?

Ich hatte da was anderes raus. -\( \frac{k}{3} \)

Ich habe es gesehen. Aber Du nennst Deinen Rechenweg nicht um auf eine Nullstelle bei -k/3 zu kommen, dann kann ich auch nicht sagen, wo der Fehler war.

Mein Rechenwrg lautet


0,3x^3 + k*x^2 = 0

dann x^2 ausklammern

x^2 (0,3x+k) = 0

Produktregel anwenden

X^2 = 0 v 0,3x+k=0

0,3x+k=0 | - k

0,3x=-k | : 0,3

X = -k/0,3

Also bist Du mittlerweile doch noch auf das richtige Ergebnis gekommen.

Der Satz vom Nullprodukt ist aber nicht dasselbe wie die Produktregel.

Ich bin aber nicht auf -\( \frac{10}{3} \)k gekommen

Vor 27 Minuten aber schon.

-k/0.3 = -10/3 k

Ohh alles klar. Vielen Dank!

Ich soll noch schauen, ob eine Halbierung von k auch zu einer Halbierung des Flächeninhalts führt.

Ich habe jedoch 125/8 raus.

Die Halbierung von k wäre ja 1,5

Dann habe ich das so gerechnet:

\( \int\limits_{0}^{\ - \frac{1,5}{0,3}} \) (0,3x3+1,5x2)dx

Es kam aber \( \frac{125}{8} \)

Ist das falsch ?

Weil der Flächeninhalt ja 250 beträgt

0.3x3 + 1.5x2 = 0 hat die Lösungen x1 = -5 und x2,3 = 0

Ich soll aber die Halbierung von k nehmen und schauen ob dies zu einer Halbierung des Flächeninhalts führt.

Man soll da nicht die Nullstellen berechnen denke ich

Auch wenn ich die Grenzen mit -5 und 0 benutze bekomme ich 125/8 raus

Aber das ergibt keinen Sinn

Wenn sich k ändert, ändern sich die Nullstellen und die Fläche.

blob.png


Deine Aussage "Aber das ergibt keinen Sinn" ergibt keinen Sinn. Warum sollte das keinen Sinn ergeben?

Ja aber die Aufgave lautet entscheiden Sie ob eine Halbierung von k zu einer Halbierung des Flächeninhalts führt.

Und die Halbierung von k ist ja 1,5 oder nicht ?

Ich bekomme aber nicht die häfte von 250 FE sondern 125/8 FE raus.

Das ist ja richtig. Aber Du kommst nur darauf, wenn Du die Nullstelle bei x = -5 als untere Integrationsgrenze verwendest.

Alles klar,

Könntest du mir eventuell noch bei meiner anderen Frage helfen bitte?

Ja bei dir könnte ich die beste Antwort nicht vergeben, da es nur kommentiert wurde. Aber trotzdem vielen Dank für die anTworten. Hast mir echt weitergeholfen

1 Antwort

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Beste Antwort

\( 250=\int \limits_{-\frac{10}{3} k}^{0}\left(0,3 x^{3}+k x^{2}\right) \cdot d x=\left[\frac{3}{40} x^{4}+\frac{k}{3} x^{3}\right]_{-\frac{10}{3} k}^{0}=[0]-\left[\frac{3}{40} \cdot\left(-\frac{10}{3} k\right)^{4}+\frac{k}{3} \cdot\left(-\frac{10}{3} k\right)^{3}\right] \)

\( 250=-\left[\frac{3}{40} \cdot \frac{10000}{81} k^{4}-\frac{k^{4}}{3} \cdot \frac{1000}{27}\right]=-\frac{250}{27} k^{4}+\frac{1000}{81} k^{4}=-\frac{750}{81} k^{4}+\frac{1000}{81} k^{4}=\frac{250}{81} k^{4} \)
\( k^{4}=81 \)
\( k=3 \)




Avatar von 40 k

Dankeschön .

Den letzen beiden Schritte habe ich leider nicht verstanden.

Wie kommst du auf -\( \frac{250}{27} \) k4 ..usw = \( \frac{250}{81} \) k4

\( \frac{250}{27} \)=\( \frac{250*3}{27*3} \)=\( \frac{750}{81} \)

Ja genau aber ich verstehe nicht denSchritt mit 250 und - \( \frac{250}{27} \)

-\( \frac{3}{40} \)*\( \frac{10000}{81} \)\( k^{4} \)=-\( \frac{10000}{40} \)*\( \frac{3}{81} \)\( k^{4} \)=-250*\( \frac{3}{81} \)\( k^{4} \)=-\( \frac{250}{27} \)\( k^{4} \)

Alles klar, aber was ist mit den 250 FE muss man die nicht iwann dazu Rechen ?

Du musst die "Gleichungskette" 250FE=....=...=...=\( \frac{250}{81} \)\( k^{4} \) nun nach \( k^{4} \) auflösen:

250=\( \frac{250}{81} \)\( k^{4} \)

1=\( \frac{1}{81} \)\( k^{4} \)

\( k^{4} \)=81

k=\( \sqrt[3]{81} \)=3

Für gibt es dann doch 2 Lösungen.

-3 und +3

Welches kommt dann nun in Betracht ?

\( \sqrt[3]{81} \)≠-3 , weil  \((-3)^{3} \)=-81 ist.

Es ist die 4. Wurzel aus 81

k4 = 81

k= 4\(\sqrt{81} \)

Und der Rechner zeigt -3 und +3 als Ergebnis.

und (-3)4 ist auch = 81

Welche Lösung ist nun korrekt ?

Da habe ich aus Versehen die 3.Wurzel gezogen.

fk(x) = 0,3⋅x^3 + k⋅x^2        , k > 0, x ∈ ℝ

Somit gilt k=3

blob.png

Es winkt der Nobelpreis.

Aber "beste Antwort" ist ja schon toll.

Ach stimmt, Danke schön haha.

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