Zeigen Sie, dass f: (a x+b)/(c x+d) injektiv ist.

Question

Aufgabe:

Seien \( a, b, c, d \in \mathbb{R} \) mit \( a d-b c \neq 0 \) und \( c \neq 0 \).
(a) Zeigen Sie, dass \( f: \mathbb{R} \backslash\left\{-\frac{d}{c}\right\} \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto \frac{a x+b}{c x+d} \) injektiv ist.

Problem/Ansatz:

x1,x2€R       \( \frac{ax1+b}{cx1+d} \) =  \( \frac{ax2+b}{cx2+d} \)

Und dann schauen ob x1=x2  raus kommt?

Ich habe etwas komisches raus

?

Answer 1

Aloha :)

Injektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge \(\mathbb R\) höchstens 1-mal getroffen wird. Wir nehmen daher an, es gebe zwei Elemente \(x\) und \(y\) aus der Definitionsmenge \(\mathbb R\setminus\{-\frac dc\}\), die dasselbe Ziel treffen, und zeigen, dass diese zwei Elemente gleich sein müssen. Beachte noch, dass \(c\ne0\) und \((ad-bc)\ne0\) gilt.

$$\left.f(x)=f(y)\quad\right|\text{einsetzen}$$$$\left.\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{ay+b}{cy+d}\quad\right|\text{auf Hauptnenner bringen}$$$$\left.\frac{(ax+b)(cy+d)}{(cx+d)(cy+d)}=\frac{(ay+b)(cx+d)}{(cx+d)(cy+d)}\quad\right|\text{mit Hauptnenner multiplizieren}$$$$\left.(ax+b)(cy+d)=(ay+b)(cx+d)\quad\right|\text{Klammern ausmultiplizieren}$$$$\left.acxy+bcy+adx+bd=acxy+bcx+ady+bd\quad\right|-acxy-bd$$$$\left.bcy+adx=bcx+ady\quad\right|-bcx-bcy$$$$\left.adx-bcx=ady-bcy\quad\right|\text{ausklammern}$$$$\left.(ad-bc)x=(ad-bc)y\quad\right|\colon(ad-bc)\quad\text{(nach Aufgabenstellung \(\ne0\))}$$$$x=y$$Die Funktion ist also tatsächlich injektiv.

Comments

Danke für die ausführliche Antwort!

Ich habe es etwas umständlicher gemacht, indem ich den Term rübergezogen habe.

Ist das so auch richtig?

  \( \frac{ax+b}{cx+d} \) =  \( \frac{axy+b}{cxy+d} \) / - \( \frac{axy+b}{cxy+d} \)

\( \frac{ax+b*(cy+d)}{cx+d*(cy+d)} \) - \( \frac{ay+b*(cx+d)}{cy+d*(cx+d)} \) =0 / auf selbe Nenner bringen

\( \frac{axy+cyb+adx+db-acxy-ayd-cbx-bd}{c²xy+cxd+cyd+d²} \) =0

=  \( \frac{cyb-cxb+dax-day}{c2xy+cxd+cyd+d2} \)=0 / ausklammern

= \( \frac{(y-x)cb+(x-y)ad}{c2xy+cxd+cyd+d2} \)=0

--> (y-x)cb+(x-y)ad=0  /-(x-y)ad

--> (y-x)bc=(y-x)ad / Minusklammer

Nullsetzen:

cb=0 → c≠0

--> b=0

--> ad-cb=0   ad=cb  --> ad=0

Verboten

Einzige Möglichkeit

y-x=0 setzten

--> y=x    somit injektiv

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Ich sehe nichts Verbotenes in deiner Rechnung, kann man so machen... \o/