Fehlerabschätzung zu quadratischer Gleichung?

Question

Hallo, wie lautet die Lösung zu dieser Aufgabe?

Schätzen Sie den absoluten und den relativen Fehler ab, der bei der Bestimmung der kleineren Lösung der quadratischen Gleichung x² − 2ax + b = 0 auftritt, wenn die Koeffizienten a = 3 und b = 8 mit einem Fehler von bis zu 3 % behaftet sind.

Danke schonmal :)

Answer 1

Die kleinere der beiden Lösungen (falls überhaupt reelle Lösungen vorhanden sind) ist

x₁ = a - $\sqrt{a^2 - b}$

Für den konkret gegebenen Fall mit den vorgegebenen Werten würde ich einfach mal die 4 extremen Fälle (mit den max. zugelassenen plus- oder minus- Abweichungen) numerisch ausrechnen und dann den Fall mit der größten Abweichung im Ergebnis auswählen.

Vielleicht wird aber eine "Abschätzung" mittels Differentialen erwartet.

Answer 2

Aloha :)

Aus der Aufgabenstellung entnehmen wir:$$x^2-2ax+b=0\quad;\quad a=3\;;\;b=8\;;\;\frac{\Delta a}{a}=0,03$$Wir sollen den Fehler der kleineren Lösung der Gleichung bestimmen, also brauchen wir znächst diese Lösung:$$0=x^2-2ax+b=(x^2-2ax+a^2)-(a^2+b)=(x-a)^2-(a^2+b)\implies$$$$x=a\pm\sqrt{a^2+b}$$Wir sind nur an der Lösung mit dem negativen Vorzeichen der Wurzel interessiert:$$x=a-\sqrt{a^2+b}=3-\sqrt{17}$$

Der relative Fehler von $a$ pflanzt sich gemäß der Gauß'schen Fehlerfortpflanzung in den Fehler von $x$ fort:$$\Delta x=\left|\frac{\partial x}{\partial a}\,\Delta a\right|=\Delta a\cdot\left|1-\frac{a}{\sqrt{a^2+b}}\right|=\underbrace{0,03\cdot3}_{=\Delta a}\cdot\left|1-\frac{3}{\sqrt{3^2+8}}\right|\approx0,024515$$

Der relative Fehler von $x$ ist also:$\frac{\Delta x}{|x|}\approx2,2\%$