explizites Eulerverfahren zur numerischen Näherung

Question

Hallo an alle!

Aufgabe: Gegeben ist das AWP mit

y'(t) = -y(t) + 1; y(0) = 0

Man soll beweisen, dass y(t) = 1-e^(-t) das AWP löst. Ebenso sollen die ersten zwei Schritte des expl. Eulerverfahrens mit h=0,1 angewendet werden, um das AWP numerisch zu lösen. Gesucht wird dabei der glob. Fehler an t=0,2.

Answer 1

Die homogene Lösung ist \( y_H(t) = A e^{-t} \) und eine inhomogene Lösung ist, wie man durch nachrechnen feststellt \( y_I(t) = 1 \) also ist die allg. Lösung $$ y(t) = y_H(t) + y_I(t) = A e^{-t} + 1 $$ und \( y(0) = 0 \) ergibt \( A = -1 \)

Insgesamt also $$  y(t) = -e^{-t} + 1 $$

Das explizite Eulerverfahren sieht so aus

$$ y_{k+1} = y_k + h f(t_k,y_k) $$ In Deinem Fall ist \( f(t,y) = -y + 1 \)

Damit ergibt sich mit \( y_0 = 0 \)

$$ y_1 = y_0 + h f(t_0,y_0) =  h $$

$$ y_2 = y_1 + h f(t_1,y_1) = h + h (-h + 1) = -h^2 + 2h $$

Comments

Dankeschön :)

und für h am Schluss die 0,1 einsetzen?

LG

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Ja und den globalen Fehler noch ausrechnen.